당신은 주제를 찾고 있습니까 “zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy – Zadania maturalne z graniastosłupów“? 다음 카테고리의 웹사이트 https://ppa.charoenmotorcycles.com 에서 귀하의 모든 질문에 답변해 드립니다: https://ppa.charoenmotorcycles.com/blog/. 바로 아래에서 답을 찾을 수 있습니다. 작성자 AjkaMat 이(가) 작성한 기사에는 조회수 25,253회 및 좋아요 771개 개의 좋아요가 있습니다.
zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy 주제에 대한 동영상 보기
여기에서 이 주제에 대한 비디오를 시청하십시오. 주의 깊게 살펴보고 읽고 있는 내용에 대한 피드백을 제공하세요!
d여기에서 Zadania maturalne z graniastosłupów – zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy 주제에 대한 세부정보를 참조하세요
Witam w kolejnym odcinku powtórek do matury. Na dzisiejszej lekcji powtórka z graniastosłupów.
Na lekcji między innymi:
✅ pola i objętości graniastosłupów
✅ kąty w graniastosłupach
✅ wyznaczanie długości przekątnych
👉 Chcesz samodzielnie poćwiczyć?
Pobierz zestaw zadań dołączając do grupy \”Matura 2020 z Ajkamat\” na moim FanPage.
👉 Chcesz wiedzieć więcej?
Kliknij ⬇⬇⬇ w poniższy link i zapoznaj się z ofertą moich kursów online.
https://ajkamat.pl/kursy
Serdecznie zapraszam!!!
#matura #matematyka #ajkamat
📌 SUBSKRYBUJ mój kanał!
▻ https://www.youtube.com/c/AjkaMat?sub_confirmation=1
Wszystko jasne, a może jednak czegoś nie rozumiesz lub chcesz się podzielić opinią na temat tej lekcji?
💭 Zadaj swoje pytanie lub napisz opinię w komentarzu ⬇.
💡💡 Spodobała Ci się lekcja?
Zostaw łapkę w górę 👍👍👍.
Więcej fajnych materiałów do nauki znajdziesz na moim kanale YouTube AjkaMAT!
🚀 https://www.youtube.com/c/AjkaMat
________________________________
MOJE KURSY ONLINE: https://ajkamat.pl/kursy
FACEBOOK: https://facebook.com/AjkaMatLetsDoIt
INSTAGRAM: https://www.instagram.com/ajkamat.pl/
BLOG: https://ajkamat.pl
zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy 주제에 대한 자세한 내용은 여기를 참조하세요.
Graniastosłupy i ostrosłupy – zadania maturalne – Matura …
Zadania numer 15, 18, 26, 27, 29, 33, 34, 35, 39, 40 nie obowiązują na maturze 2022 🙂 Graniastosłupy i ostrosłupy – zadania. Zadanie 1. (1pkt) Objętość …
Source: szaloneliczby.pl
Date Published: 11/21/2021
View: 2385
Stereometria Ostrosłupy – Matura z matematyki – Zdajmy Razem
Stereometria Ostrosłupy Zadania maturalne z matematyki oraz arkusze maturalne z matematyki z autorskimi rozwiązaniami i cennymi wskazówkami.
Source: zdajmyrazem.pl
Date Published: 1/3/2021
View: 3788
12. Stereometria
Otyginalne zadąnia maturalne Centralnej Komisj i Egzam i nacyj nej. Zadanie 11.106. fmatura … Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa.
Source: zssiennica.pl
Date Published: 6/9/2021
View: 5045
Geometria przestrzenna – Zadania maturalne
Zadania maturalne z Matematyki. Tematyka: geometria przestrzenna: graniastosłupy, prostopadłościany, sześcian, walec, ostrosłup, stożek, …
Source: matura100procent.pl
Date Published: 7/7/2022
View: 5458
Graniastosłupy i ostrosłupy (zadania) – AleKlasa
Graniastosłupy i ostrosłupy (zadania). Wiedza w pigułce. GRANIASTOSŁUP. Graniastosłupem nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ściany zwane podstawami są …
Source: aleklasa.pl
Date Published: 5/2/2022
View: 6496
Graniastosłupy i ostrosłupy – zadania otwarte
Graniastosłupy i ostrosłupy. Zadania otwarte z matury podstawowej i informatora maturalnego.
Source: matematykaszkolna.pl
Date Published: 8/6/2021
View: 1079
주제와 관련된 이미지 zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy
주제와 관련된 더 많은 사진을 참조하십시오 Zadania maturalne z graniastosłupów. 댓글에서 더 많은 관련 이미지를 보거나 필요한 경우 더 많은 관련 기사를 볼 수 있습니다.
주제에 대한 기사 평가 zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy
- Author: AjkaMat
- Views: 조회수 25,253회
- Likes: 좋아요 771개
- Date Published: 2020. 3. 10.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=Jw6nrewG1kM
Graniastosłupy i ostrosłupy
Graniastosłupy i ostrosłupy – zadania
Zadanie 1. (1pkt) Objętość sześcianu jest równa \(27cm^3\). Jaka jest suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu? A) \(18cm\) B) \(36cm\) C) \(24cm\) D) \(12cm\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie długości pojedynczej krawędzi.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na objętość sześcianu i wyznaczymy z niego długość pojedynczej krawędzi:
$$V=a^3 \\
27cm^3=a^3 \\
a=3cm$$
Krok 2. Obliczenie sumy długości wszystkich krawędzi.
Sześcian ma \(12\) krawędzi równej długości. Skoro tak, to suma wszystkich krawędzi będzie równa:
$$S=12\cdot3cm \\
S=36cm$$
Zadanie 2. (1pkt) Graniastosłup ma \(15\) krawędzi. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup? A) \(10\) B) \(5\) C) \(15\) D) \(30\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź A Wyjaśnienie: Krok 1. Wyznaczenie liczby kątów podstawy graniastosłupa.
Graniastosłup, który ma w swojej podstawie \(n\)-kąt posiada \(3n\) krawędzi. W związku z tym figurą znajdującą się w podstawie będzie pięciokąt, bo:
$$3n=15 \\
n=5$$
Krok 2. Obliczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający w podstawie \(n\)-kąt posiada \(2n\) wierzchołków. Skoro w podstawie jest pięciokąt to wierzchołków będziemy mieć \(5\cdot2=10\).
Zadanie 3. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \(54\). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa: A) \(\sqrt{6}\) B) \(3\) C) \(9\) D) \(3\sqrt{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Znamy pole całkowite sześcianu, wiemy że sześcian ma sześć ścian, a więc każda ze ścian ma powierzchnię równą:
$$54:6=9$$
Wiemy już, że każda z tych ścian jest kwadratem o polu powierzchni równym \(9\), a więc długość krawędzi sześcianu jest równa:
$$a^2=9 \\
a=3 \quad\lor\quad a=-3$$
Wartość \(a=-3\) musimy oczywiście odrzucić, bo długość boku nie może być ujemna.
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Długość przekątnej sześcianu możemy opisać wzorem \(s=a\sqrt{3}\). To znaczy, że nasz sześcian ma przekątną równą \(s=3\sqrt{3}\).
Jeżeli nie pamiętasz tego wzoru, to możesz długość przekątnej sześcianu wyznaczyć z Twierdzenia Pitagorasa, gdzie przyprostokątnymi będą krawędź boczna, czyli \(a=3\) oraz przekątna kwadratu znajdującego się w podstawie, czyli \(d=3\sqrt{2}\). Przeciwprostokątną będzie wtedy poszukiwana przez nas przekątna sześcianu:
$$3^2+(3\sqrt{2})^2=s^2 \\
9+9\cdot2=s^2 \\
9+18=s^2 \\
s^2=27 \\
s=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot3}=3\sqrt{3}$$
Zadanie 4. (1pkt) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Suma długości wszystkich krawędzi jest równa \(90\). Wtedy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe: A) \(300\) B) \(300\sqrt{3}\) C) \(300+50\sqrt{3}\) D) \(300+25\sqrt{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie długości krawędzi graniastosłupa.
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym mamy \(9\) krawędzi. Skąd to wiemy? Możemy to albo sobie wyobrazić (trzy krawędzie w podstawie dolnej, trzy krawędzie w podstawie górnej i trzy krawędzie boczne), albo możemy skorzystać ze wzoru na liczbę krawędzi w graniastosłupach. Graniastosłup posiadającego w swojej podstawie \(n\)-kąt ma liczbę krawędzi równą \(3n\). Czyli w naszym przypadku skoro \(n=3\), to liczba krawędzi będzie równa \(3\cdot3=9\).
Skoro suma wszystkich krawędzi jest równa \(90\), a takich krawędzi mamy \(9\), to każda z nich ma długość:
$$a=90:9 \\
a=10$$
Krok 2. Obliczenie powierzchni podstawy dolnej i górnej.
W podstawie dolnej i górnej znajduje się trójkąt równoboczny o boku \(a=10\). Pole każdej z tych podstaw będzie więc równe:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{100\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=25\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie powierzchni ściany bocznej.
W ścianie bocznej znajdzie się kwadrat o boku \(a=10\), zatem:
$$P_{b}=a^2 \\
P_{b}=10^2 \\
P_{b}=100$$
Krok 4. Obliczenie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa.
Mamy dwie podstawy (dolna oraz górna) oraz trzy ściany boczne, zatem pole powierzchni całkowitej będzie równe:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=2\cdot25\sqrt{3}+3\cdot100 \\
P_{c}=300+50\sqrt{3}$$
Zadanie 5. (1pkt) Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\). Siatką ostrosłupa czworokątnego \(ABCDE\) jest:
A) B) C) D) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: W naszej siatce powinniśmy się spodziewać dwóch różnych rodzajów trójkątów. Pierwszym rodzajem są trójkąty \(ABE\) oraz \(ADE\) (są na pewno prostokątne i równoramienne bo wyznacza nam to bok sześcianu). Drugim rodzajem są trójkąty \(BCE\) oraz \(CDE\) (też będą to trójkąty prostokątne, ale już nie będą równoramienne no i będą tak jakby “dłuższe”).
Już ta pierwsza weryfikacja sprawia, że odrzucimy odpowiedzi \(C\) i \(D\), bo tam wszystkie trójkąty są jednakowych rozmiarów. Teraz używając naszej wyobraźni przestrzennej musimy dokonać wyboru między \(A\) i \(B\). Siatka \(A\) różni się od \(B\) jedynie ułożeniem dwóch “dłuższych” trójkątów. W siatce \(B\) najdłuższe krawędzie wychodzą z jednego wierzchołka i to jest dla nas znak, że po złożeniu te krawędzie idealnie się ze sobą spasują. W siatce \(A\) już takiej zależności nie znajdziemy i w zasadzie po złożeniu tej siatki otrzymamy bardzo nieregularną figurę przestrzenną (nie będzie nam nawet to przypominać ostrosłupa). Stąd też prawidłowa jest odpowiedź \(B\).
Zadanie 6. (1pkt) Pole powierzchni jednej ściany sześcianu jest równe \(4\). Objętość tego sześcianu jest równa: A) \(6\) B) \(8\) C) \(24\) D) \(64\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu.
Ściany sześcianu są kwadratami. Skoro pole jednej ściany jest równe \(4\), to krawędź sześcianu ma oczywiście długość \(2\) (bo \(P=a^2\)).
Krok 2. Obliczenie objętości sześcianu.
$$V=a^3 \\
V=2^3 \\
V=8$$
Zadanie 7. (1pkt) Objętość sześcianu jest równa \(64\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe: A) \(512\) B) \(384\) C) \(96\) D) \(16\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie długości krawędzi sześcianu.
Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej musimy znać długość krawędzi tego sześcianu. Wyznaczymy ją ze wzoru na objętość, bowiem to właśnie objętość jest podana w treści zadania:
$$V=a^3 \\
64=a^3 \\
a=\sqrt[3]{64} \\
a=4$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
Znając długość krawędzi sześcianu możemy przystąpić do obliczenia jego pola powierzchni całkowitej:
$$P_{c}=6\cdot a^2 \\
P_{c}=6\cdot4^2 \\
P_{c}=6\cdot16 \\
P_{c}=96$$
Zadanie 8. (1pkt) Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest o \(10\) większa od liczby wszystkich jego ścian bocznych. Stąd wynika, że podstawą tego graniastosłupa jest: A) czworokąt B) pięciokąt C) sześciokąt D) dziesięciokąt Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Krok 1. Ustalenie liczby krawędzi i ścian bocznych graniastosłupa.
Jeśli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa, to:
Liczba krawędzi: \(3n\)
Liczba ścian bocznych: \(n\)
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie równania.
Korzystając z zależności wypisanych w pierwszym kroku. możemy zapisać treść zadania w formie prostego równania:
$$3n-n=10 \\
2n=10 \\
n=5$$
To oznacza, że w podstawie graniastosłupa mamy pięciokąt.
Zadanie 9. (1pkt) Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa \(24\). Wtedy liczba jego wierzchołków jest równa: A) \(6\) B) \(8\) C) \(12\) D) \(16\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie liczby kątów figury znajdującej się w podstawie graniastosłupa.
Z własności graniastosłupów wiemy, że graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(3n\) krawędzi. Zatem w podstawie graniastosłupa znajduje się:
$$3n=24 \\
n=8 \\
\text{(czyli ośmiokąt)}$$
Krok 2. Wyznaczenie liczby wierzchołków graniastosłupa.
Graniastosłup mający \(n\)-kąt w swojej podstawie ma \(2n\) wierzchołków, zatem łącznie wszystkich wierzchołków będziemy mieć:
$$2\cdot8=16$$
Zadanie 10. (1pkt) Jeżeli ostrosłup ma \(10\) krawędzi, to liczba ścian bocznych jest równa: A) \(5\) B) \(7\) C) \(8\) D) \(10\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź A Wyjaśnienie: Jeśli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta, który znajdzie się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n\) ścian bocznych. Z treści zadania wynika, że mamy \(10\) krawędzi, tak więc:
$$2n=10 \\
n=5$$
Czyli nasz ostrosłup ma \(5\) ścian bocznych.
Zadanie 11. (1pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(432\), a krawędź podstawy tego ostrosłupa ma długość \(12\). Wysokość tego ostrosłupa jest równa: A) \(3\) B) \(9\) C) \(27\) D) \(108\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Wysokość ostrosłupa wyznaczymy podstawiając do wzoru na objętość tej bryły wszystkie dane z treści zadania, pamiętając że w podstawie tego ostrosłupa mamy kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny):
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
432=\frac{1}{3}\cdot12^2\cdot H \\
432=\frac{1}{3}\cdot144\cdot H \\
432=48\cdot H \\
H=9$$
Zadanie 12. (1pkt) Ostrosłup i graniastosłup mają równe pola podstaw i równe wysokości. Objętość ostrosłupa jest równa \(81\sqrt{3}\). Objętość graniastosłupa jest równa: A) \(27\) B) \(27\sqrt{3}\) C) \(243\) D) \(243\sqrt{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Wzór na objętość graniastosłupa:
$$V_{g}=P_{p}\cdot H$$
Wzór na objętość ostrosłupa:
$$V_{o}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H$$
Podstawmy teraz do wzoru na objętość ostrosłupa objętość z treści zadania:
$$81\sqrt{3}=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \quad\bigg/\cdot3 \\
243\sqrt{3}=P_{p}\cdot H$$
Po prawej stronie równania otrzymaliśmy wzór na pole graniastosłupa. W związku z tym \(V_{g}=243\sqrt{3}\).
Zadanie 13. (1pkt) Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe: A) \(\frac{8^2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\) B) \(8^2\cdot\sqrt{3}\) C) \(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\) D) \(8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Skorzystamy więc ze wzoru na jego pole, podstawiając \(a=8\). Zatem:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$
W takiej postaci to zostawimy, bo widzimy że w odpowiedziach pojawia się \(8^2\).
Krok 2. Obliczenie pola ściany bocznej.
Skoro każda krawędź ma długość \(8\), to w ścianie bocznej musimy mieć kwadrat o boku \(8\). Jego pole jest wiec równe:
$$P_{b}=a^2 \\
P_{b}=8^2$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mamy dwie podstawy oraz trzy ściany boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite. Na sam koniec obliczeń musimy się jeszcze dopasować do naszych odpowiedzi, czyli wyłączyć \(8^2\) przed nawias:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b} \\
P_{c}=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot8^2 \\
P_{c}=\frac{8^2\sqrt{3}}{2}+3\cdot8^2 \\
P_{c}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$$
Zadanie 14. (1pkt) Graniastosłup o podstawie ośmiokąta ma dokładnie: A) \(16\) wierzchołków B) \(9\) wierzchołków C) \(16\) krawędzi D) \(8\) krawędzi Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź A Wyjaśnienie: Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów wielokąta znajdującego się w podstawie graniastosłupa, to będzie miał on \(2n\) wierzchołków i \(3n\) krawędzi. W naszym przypadku graniastosłup o podstawie ośmiokąta miałby \(16\) wierzchołków i \(24\) krawędzie, tak więc prawidłowa jest pierwsza odpowiedź.
Zadanie 15. (1pkt) W ostrosłupie czworokątnym, w którym wszystkie krawędzie mają tę samą długość, kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ma miarę: A) \(30°\) B) \(45°\) C) \(60°\) D) \(75°\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Jeżeli ostrosłup czworokątny ma wszystkie krawędzie równej długości to na pewno w podstawie mamy kwadrat. Cały ostrosłup wyglądać będzie mniej więcej w ten sposób:
Na rysunku zaznaczyliśmy sobie też dwa kąty – kąt między krawędzią i przekątną podstawy (czyli kąt \(α\)) oraz poszukiwany kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy (czyli kąt \(β\)).
Krok 2. Wyznaczenie kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
Poszukujemy miary kąta \(β\).
Zwróćmy uwagę na to, że trójkąty \(ABD\) oraz \(BDS\) są trójkątami przystającymi (mają te same długości ramion bo krawędzie są sobie równe oraz mają wspólną podstawę trójkąta, która jest przekątną kwadratu). To oznacza, że na naszym rysunku \(α=β\).
Kąt \(α\) ma znaną nam miarę \(45°\), bo przekątna kwadratu dzieli kąt prosty na dwie równe części, czyli \(90°:2=45°\). Skoro tak, to zgodnie z tym co sobie napisaliśmy wcześniej \(β=45°\).
Zadanie 16. (1pkt) Przekątna ściany sześcianu ma długość \(2\). Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu jest równe: A) \(24\) B) \(12\sqrt{2}\) C) \(12\) D) \(16\sqrt{2}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Krok 1. Wyznaczenie długości krawędzi sześcianu (\(a\)).
Trzeba dobrze wczytać się w treść zadania. Podaną mamy długość przekątnej ściany sześcianu, a nie przekątnej całego sześcianu jako takiego. Wiemy więc, że ścianami sześcianu są kwadraty o przekątnej \(d=2\). Nam do obliczenia pola całkowitego potrzebna będzie długość krawędzi sześcianu. Z własności kwadratu wynika, że:
$$d=a\sqrt{2} \\
2=a\sqrt{2} \\
a=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Sześcian składa się z sześciu ścian, każda z nich jest kwadratem o boku \(a=\sqrt{2}\), zatem:
$$P_{c}=6\cdot a^2 \\
P_{c}=6\cdot (\sqrt{2})^2 \\
P_{c}=6\cdot2 \\
P_{c}=12$$
Zadanie 17. (1pkt) Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości graniastosłupa. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i jeden wierzchołek drugiej podstawy (patrz rysunek).
Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą graniastosłupa kąt \(α\) o mierze: A) \(30°\) B) \(45°\) C) \(60°\) D) \(75°\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź B Wyjaśnienie: Jeżeli wysokość graniastosłupa oznaczymy sobie literą \(h\), to z treści zadania wynika, że długość przekątnej podstawy graniastosłupa (podstawy! nie bryły jako takiej) jest równa \(2h\).
Dodatkowo wiemy, że w podstawie graniastosłupa jest kwadrat (a wiemy to stąd, że jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny). To oznacza, że jego przekątne przecinają się dokładnie w połowie swojej długości, a co za tym idzie – odcinek \(BC\) ma długość \(h\) (patrz rysunek). Wygląda to mniej więcej tak:
Z naszej analizy wynika, że powstał nam trójkąt \(ABC\), który jest prostokątny i równoramienny, a to z kolei oznacza że jest to trójkąt o kątach których miara wynosi \(45°, 45°, 90°\). Poszukiwany przez nas kąt \(α\) ma więc \(45°\).
Zadanie 18. (1pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego \(ABCDS\) jest kwadrat \(ABCD\). Wszystkie ściany boczne tego ostrosłupa są trójkątami równobocznymi. Miara kąta \(ASC\) jest równa: A) \(45°\) B) \(30°\) C) \(75°\) D) \(90°\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Bardzo ważną informacją jest fakt, że ściany boczne są trójkątami równobocznymi. Jeśli krawędzi podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to skoro są to wszystko trójkąty równoboczne to także krawędzie boczne możemy opisać jako \(a\). Dodatkowo przekątna kwadratu ma długość \(a\sqrt{2}\).
Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ASC\).
W zasadzie możemy miarę tego kąta wyznaczyć na dwa sposoby:
I sposób – z podobieństwa trójkątów.
Możemy zauważyć, że trójkąt \(ASC\) jest trójkątem podobnym do trójkąta \(ABC\). Mają one te same długości ramion , czyli \(a\) oraz podstawy czyli \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to wszystkie miary tych kątów będą także sobie równe. My wiemy, że \(|\sphericalangle ABC|=90°\), bo wszystkie kąty w kwadracie mają taką miarę. Stąd też także \(|\sphericalangle ASC|=90°\).
II sposób – z Twierdzenia Pitagorasa.
Ogólnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy korzystać tylko przy obliczeniach na trójkątach prostokątnych. My nie wiemy czy nasz trójkąt jest prostokątny, ale jeśli pod \(a^2+b^2=c^2\) podstawimy nasze dane i równość okaże się prawdziwa, to będzie to oznaczało, że trójkąt jest prostokątny, a tym samym \(\sphericalangle ASC=90°\). Zatem:
$$a^2+a^2=(a\sqrt{2})^2 \\
2a^2=2a^2 \\
L=P$$
Jest to więc trójkąt prostokątny, czyli poszukiwana miara kąta to \(90°\).
Zadanie 19. (1pkt) Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(α\).
Wtedy wartość \(sin\frac{α}{2}\) jest równa: A) \(\frac{2}{3}\) B) \(\frac{\sqrt{7}}{3}\) C) \(\frac{\sqrt{7}}{7}\) D) \(\frac{\sqrt{2}}{3}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź D Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Pierwszą rzeczą którą musimy zauważyć, to że trójkąc \(ABC\) jest równoramienny. Jego ramiona mają długość \(3\), a podstawa jest równa \(|CB|=2\sqrt{2}\). Skąd wiemy, że to jest dokładnie taka długość podstawy? Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku \(2\).
Jeżeli z miejsca przecięcia się tych przekątnych (punkt \(P\)) poprowadzimy prostą do wierzchołka \(A\) to otrzymamy tak naprawdę dwusieczną kąta \(α\) (bo jest to wysokość trójkąta równoramiennego, a ta dzieli kąt na dwie równe części). Mamy więc już interesujący nas kąt \(\frac{α}{2}\).
Krok 2. Obliczenie sinusa kąta \(\frac{α}{2}\).
Obliczenia dokonujemy już tylko na trójkącie \(PCA\). Potrzebujemy wyznaczyć sinusa kąta \(CAP\), który ma miarę \(\frac{α}{2}\). Znamy potrzebną nam długosć \(|CA|=3\), potrzebujemy jeszcze poznać długość odcinka \(|CP|\). Jest to połowa przekątnej kwadratu, tak więc:
$$|CP|=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$$
Możemy już teraz obliczyć pożądaną wartość sinusa:
$$sin\frac{α}{2}=\frac{|CP|}{|CA|} \\
sin\frac{α}{2}=\frac{\sqrt{2}}{3}$$
Zadanie 20. (1pkt) Różnica liczby krawędzi i liczby wierzchołków ostrosłupa jest równa \(11\). Podstawą tego ostrosłupa jest: A) dziesięciokąt B) jedenastokąt C) dwunastokąt D) trzynastokąt Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź C Wyjaśnienie: Jeżeli za \(n\) przyjmiemy liczbę kątów w figurze znajdującej się w podstawie ostrosłupa, to bryła ta będzie mieć \(2n\) krawędzi i \(n+1\) wierzchołków. To pozwoli nam utworzyć proste równanie:
$$2n-(n+1)=11 \\
2n-n-1=11 \\
n=12$$
Zadanie 21. (1pkt) Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, w którym wysokość jest \(3\) razy dłuższa od krawędzi podstawy, jest równe \(140\). Zatem krawędź podstawy tego graniastosłupa jest równa: A) \(\sqrt{10}\) B) \(3\sqrt{10}\) C) \(\sqrt{42}\) D) \(3\sqrt{42}\) Odpowiedź Wyjaśnienie Podpowiedź Odpowiedź A Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Oznaczmy sobie jako \(a\) krawędź podstawy oraz \(3a\) jako wysokość graniastosłupa. Pamiętaj, że w podstawie graniastosłupa znajdzie się kwadrat, bo jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny.
Krok 2. Zapisanie wzoru na pole podstawy i pole ściany bocznej.
Korzystając z rysunku i zawartych na nim oznaczeń zapiszmy sobie od razu wzory na pole powierzchni podstawy oraz na pole ściany bocznej:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{b}=a\cdot3a=3a^2$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro mamy dwie podstawy oraz cztery ściany boczne i znamy pole powierzchni całkowitej, to możemy ułożyć następujące równanie:
$$2P_{p}+4P_{b}=140 \\
2\cdot a^2+4\cdot3a^2=140 \\
2a^2+12a^2=140 \\
14a^2=140 \\
a^2=10 \\
a=\sqrt{10}$$
Zadanie 22. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCD\) jest trójkąt \(ABC\). Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek).
Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCD\), jeżeli wiadomo, że \(|AD|=12\), \(|BC|=6\), \(|BD|=|CD|=13\). Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź Objętość ostrosłupa jest równa \(48\). Wyjaśnienie: Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.
W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków \(AB\) i \(AC\) i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia.
Krok 2. Obliczenie długości boków \(AB\) i \(AC\).
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok \(AB\) wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt \(ABD\), którego miary dwóch boków są nam znane, a więc:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|AD|^2=|BD|^2 \\
|AB|^2+12^2=13^2 \\
|AB|^2+144=169 \\
|AB|^2=25 \\
|AB|=5 \quad\lor\quad |AB|=-5$$
(wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej)
Długość boku \(AC\) wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta \(ACD\). Jego wymiary są identyczne co trójkąta \(ABD\) (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok \(AC\) ma długość \(5\).
Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\).
W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok \(BC\) na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
h^2+|CE|^2=|AC|^2 \\
h^2+3^2=5^2 \\
h^2+9=25 \\
h^2=16 \\
h=4 \quad\lor\quad h=-4$$
(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)
Krok 4. Obliczenie pola podstawy trójkąta znajdującego się w podstawie.
$$P_{p}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{p}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot4 \\
P_{p}=12$$
Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa:
$$P_{p}=12 \\
H=12 \\
V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\cdot12=48$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy postęp rozwiązywania jest niewielki np. obliczysz że \(|AB|=5\) lub \(|AC|=5\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy postęp rozwiązywania zadania jest nieco większy i np. obliczysz że wysokość trójkąta \(ABC\) jest równa \(h=4\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy dojdziesz do poprawnego obliczenia pola podstawy (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 23. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\). Oblicz pole trójkąta \(ABF\) wiedząc, że \(|AB|=10\) i \(|CF|=11\). Narysuj ten graniastosłup i zaznacz na nim trójkąt \(ABF\).
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(P=70\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Narysujmy sobie ten graniastosłup i oznaczmy na nim od razu długości, które są podane w treści zadania. Pamiętaj, że jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, dlatego w podstawie znajdzie się trójkąt równoboczny.
Dodatkowo musimy zauważyć, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym, bowiem jego dwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych.
Krok 2. Obliczenie długości boków \(AF\) oraz \(BF\).
Spójrzmy na trójkąc \(ACF\). Jest to trójkąt prostokątny, którego długości przyprostokątnych są nam znane. W związku z tym bez problemu obliczymy długość przeciwprostokątnej \(AF\):
$$|AC|^2+|CF|^2=|AF|^2 \\
10^2+11^2=|AF|^2 \\
100+121=|AF|^2 \\
|AF|^2=221 \\
|AF|=\sqrt{221}$$
Powiedzieliśmy sobie, że trójkąt ABF jest równoramienny, zatem także \(|BF|=\sqrt{221}\).
Krok 3. Obliczenie wysokości trójkąta \(ABF\).
Spójrzmy może na rysunek samego trójkąta \(ABF\):
Znamy długość podstawy \(|AB|=10\). Brakuje nam jeszcze wysokości tego trójkąta. Wiemy, że w trójkącie równoramiennym wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem otrzymamy mały trójkąt prostokątny \(SBF\), z którego za pomocą Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość trójkąta.
$$|SB|^2+|SF|^2=|BF|^2 \\
5^2+|SF|^2=(\sqrt{221})^2 \\
25+|SF|^2=221 \\
|SF|^2=196 \\
|SF|=14$$
Krok 4. Obliczenie pola trójkąta \(ABF\).
Wystarczy już podstawić do wzoru na pole trójkąta wszystkie dane, które uzyskaliśmy przed chwilą:
$$P=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h \\
P=\frac{1}{2}\cdot |AB| \cdot |SF| \\
P=\frac{1}{2}\cdot10\cdot14 \\
P=70$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy narysujesz graniastosłup i poprawnie zaznaczysz w nim poszukiwany trójkąt \(ABF\) (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej ściany bocznej (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta znajdującego się w podstawie, czyli \(h=5\sqrt{3}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość trójkąta \(ABF\), czyli \(|SF|=14\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy poprawnie obliczysz sinus kąta \(AFB\), czyli \(sin=\frac{140}{221}\), celem skorzystania ze wzoru na pole trójkąta z użyciem sinusa.
ALBO
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale popełnisz błąd rachunkowy.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 24. (4pkt) Punkty \(K\), \(L\), i \(M\) są środkami krawędzi \(BC\), \(HG\) i \(AE\) sześcianu \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(1\) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \(KLM\).
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Ustalenie tego, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny.
Gdybyśmy dorysowali sobie odcinki \(AK\), \(KG\) i \(EL\) to zauważymy, że za każdym razem boki naszego trójkąta \(KLM\) są przeciwprostokątnymi trójkąta prostokątnego, bo trójkąty \(AKM\), \(GKL\) oraz \(ELM\) są przystające. Wszystko powinien wyjaśnić rysunek pomocniczy.
Naszym celem będzie obliczenie długości jednego z boków trójkąta \(KLM\) (dowolnego, bo wszystkie są przecież tej samej miary). Przyjmijmy więc, że obliczymy długość odcinka \(MK\). Możemy to zrobić wykorzystując Twierdzenie Pitagorasa, ale potrzebujemy jeszcze znać miarę odcinków \(AM\) oraz \(AK\). Z treści zadania wiemy, że \(|AM|=1:2=\frac{1}{2}\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(AK\). Analizowany trójkąt wygląda więc mniej więcej w ten sposób:
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(AK\).
Długość odcinka \(AK\) wyliczymy Twierdzeniem Pitagorasa z trójkąta \(ABK\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AB|^2+|BK|^2=|AK|^2 \\
1^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=|AK|^2 \\
1+\frac{1}{4}=|AK|^2 \\
|AK|^2=\frac{5}{4} \\
|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}} \quad\lor\quad |AK|=-\frac{5}{4}$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo odcinek nie może mieć ujemnej długości, więc \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(MK\), czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\).
Znamy długości odcinków \(|AM|=\frac{1}{2}\) oraz \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\), możemy więc wrócić do trójkąta \(AMK\) i tym razem już bez przeszkód obliczymy z Twierdzenia Pitagorasa długość odcinka \(MK\) (czyli boku trójkąta równobocznego \(KLM\)).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AM|^2+|AK|^2=|MK|^2 \\
\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{\frac{5}{4}}\right)^2=|MK|^2 \\
|MK|^2=\frac{1}{4}+\frac{5}{4} \\
|MK|^2=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} \\
|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}$$
W związku z tym wiemy już, że bok naszego trójkąta równobocznego \(KLM\) ma miarę \(a=\sqrt{\frac{3}{2}}\).
Krok 4. Obliczenie pola trójkąta równobocznego \(KLM\).
Skorzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), zatem:
$$P_{KLM}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{3}}{4} \\
P_{KLM}=\frac{3\sqrt{3}}{8}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość odcinka \(|AK|=\sqrt{\frac{5}{4}}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|AK|^2=\frac{5}{4}\).
3 pkt
• Gdy dostrzeżesz, że trójkąt \(KLM\) jest równoboczny (patrz: Krok 1.) oraz gdy obliczysz długość jednego z jego boków, np. \(|MK|=\sqrt{\frac{3}{2}}\) (patrz: Krok 3.). Dopuszczalne jest także obliczenie kwadratów tych długości lub zapisanie długości w postaci \(|MK|=\frac{\sqrt{6}}{2}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 25. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDW\) jest prostokąt \(ABCD\). Krawędź boczna \(DW\) jest wysokością tego ostrosłupa. Krawędzie boczne \(AW\), \(BW\) i \(CW\) mają następujące długości: \(|AW|=6\), \(|BW|=9\), \(|CW|=7\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=8\sqrt{10}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na naszym rysunku długości z treści zadania i przeanalizujmy sobie ten ostrosłup:
Potrzebujemy poznać długości wszystkich boków zaznaczonych na zielono, czyli \(x\) oraz \(y\) do obliczenia pola podstawy oraz wysokość \(H\) całego ostrosłupa (którą w naszym przypadku jest odcinek \(DW\)).
Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(BD\).
Za chwilę będziemy budować różne równania z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to jeszcze przydałoby nam się zapisanie wzoru na długość odcinka \(BD\). Zgodnie z Twierdzeniem Pitagorasa:
$$x^2+y^2=|BD|^2$$
I w takiej formie możemy to na razie zostawić, bo przy Twierdzeniu Pitagorasa i tak posługujemy się długościami boków podniesionymi do kwadratu.
Krok 3. Wypisanie równań na podstawie Twierdzenia Pitagorasa.
Z trójkąta \(ADW\) wynika, że: \(y^2+H^2=36\)
Z trójkąta \(DCW\) wynika, że: \(x^2+H^2=49\)
Z trójkąta \(DBW\) wynika, że: \(x^2+y^2+H^2=81\)
Krok 4. Wyznaczenie poszczególnych długości.
Podstawiając z pierwszego równania \(y^2+H^2=36\) do trzeciego równania otrzymamy:
$$x^2+36=81 \\
x^2=45 \\
x=\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot5}=3\sqrt{5}$$
Podstawiając \(x=\sqrt{45}\) do drugiego równania otrzymamy:
$$(\sqrt{45})^2+H^2=49 \\
45+H^2=49 \\
H^2=4 \\
H=2$$
Podstawiając \(H=2\) do pierwszego równania otrzymamy:
$$y^2+2^2=36 \\
y^2+4=36 \\
y^2=32 \\
y=\sqrt{32}=\sqrt{16\cdot2}=4\sqrt{2}$$
Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie znajduje się prostokąt o bokach \(x\) oraz \(y\), zatem:
$$P_{p}=x\cdot y \\
P_{p}=3\sqrt{5}\cdot4\sqrt{2} \\
P_{p}=12\sqrt{10}$$
Krok 6. Obliczenie objętości bryły.
Znamy wszystkie potrzebne długości, zatem możemy przejść do obliczenia objętości:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{10}\cdot2 \\
V=4\sqrt{10}\cdot2 \\
V=8\sqrt{10}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
ALBO
• Gdy błędne rozwiązanie wynika ze złego podpisania danych na rysunku.
1 pkt
• Gdy zapiszesz przynajmniej jedno równanie z którego można obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość przynajmniej jednej krawędzi podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wszystkie długości krawędzi podstawy oraz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 26. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest romb \(ABCD\) o boku długości \(4\). Kąt \(ABC\) rombu ma miarę \(120°\) oraz \(|AS|=|CS|=10\) i \(|BS|=|DS|\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa. Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(sinα=\sqrt{\frac{22}{23}}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.
Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(CO\) oraz \(BO\).
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.
Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty \(CBD\) oraz \(CDB\) mają po \(60°\). To z kolei powoduje, że trójkąt \(BCD\) jest trójkątem równobocznym o boku długości \(4\). Analogicznie będzie z trójkątem \(ABD\). Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:
To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka \(CO\), który jest wysokością trójkąta równobocznego \(BCD\) o boku \(a=4\).
$$|CO|=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$
Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt \(BCD\) jest równoboczny, to znaczy że przekątna \(BD\) ma także długość \(4\). Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku \(BO\):
$$|BO|=4:2=2$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka \(|CO|=2\sqrt{3}\). Z treści zadania znamy też długość krawędzi \(|SC|=10\). To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość \(SO\) naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(SOC\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|CO|^2=|SC|^2 \\
|SO|^2+(2\sqrt{3})^2=10^2 \\
|SO|^2+4\cdot3=100 \\
|SO|^2+12=100 \\
|SO|^2=88 \\
|SO|=\sqrt{88} \quad\lor\quad |SO|=-\sqrt{88}$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\).
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(BS\) (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta \(BOS\). Znamy wysokości obu przyprostokątnych \(|BO|=2\) (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz \(|SO|=2\sqrt{22}\) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi \(BS\):
$$a^2+b^2=c^2 \\
|BO|^2+|SO|^2=|BS|^2 \\
2^2+(2\sqrt{22})^2=|BS|^2 \\
4+4\cdot22=|BS|^2 \\
|BS|^2=92 \\
|BS|=\sqrt{92} \quad\lor\quad |BS|=-\sqrt{92}$$
Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\).
Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi \(BS\) do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
$$sinα=\frac{|SO|}{|BS|}=\frac{2\sqrt{22}}{2\sqrt{23}}=\frac{\sqrt{22}}{\sqrt{23}}=\sqrt{\frac{22}{23}}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości odcinków \(|CO|=2\sqrt{3}\) oraz \(|BO|=2\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SO|=\sqrt{88}=2\sqrt{22}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa, czyli \(|BS|=\sqrt{92}=2\sqrt{23}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz tangens kąta nachylenia krótszej krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy, czyli \(tgβ=\sqrt{22}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 27. (4pkt) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDEFGH\) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\). Kąt \(ACE\) jest równy \(60°\). Oblicz objętość ostrosłupa \(ABCDE\) przedstawionego na poniższym rysunku.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=\frac{32\sqrt{3}}{3}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Skorzystamy tutaj z trójkąta prostokątnego \(ACE\). Znamy długość \(|AC|=4\) i znamy też miarę jednego z kątów \(|\sphericalangle ACE|=60°\). Te dwie dane posłużą nam do wyznaczenia wysokości graniastosłupa (czyli \(AE\)), a skorzystamy tutaj z funkcji tangensa:
$$tg60°=\frac{|AE|}{|AC|} \\
\sqrt{3}=\frac{|AE|}{4} \\
|AE|=4\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to graniastosłup prawidłowy czworokątny, to znaczy że w swojej podstawie ma on kwadrat. Znamy przekątną tego kwadratu i jest ona równa \(d=|AC|=4\). Z własności kwadratu wiemy też, że \(d=a\sqrt{2}\), a to pozwoli nam szybko wyliczyć długość krawędzi podstawy:
$$4=a\sqrt{2} \\
a=\frac{4}{\sqrt{2}}=\frac{4\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$$
Ta długość przyda nam się teraz do obliczenia pola podstawy.
Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie mamy kwadrat o boku \(a=2\sqrt{2}\), to pole podstawy będzie równe:
$$P_{p}=(2\sqrt{2})^2=4\cdot2=8$$
Krok 4. Obliczenie objętości wyznaczonego ostrosłupa.
Musimy teraz obliczyć objętość ostrosłupa. Znamy jego wysokość \(h=4\sqrt{3}\), obliczyliśmy także że \(P_{p}=8\), więc wystarczy już tylko podstawić te dane do standardowego wzoru na objętosć ostrosłupów:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot8\cdot4\sqrt{3} \\
V=\frac{32\sqrt{3}}{3}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
ALBO
• Gdy gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.), ale jedna z otrzymanych wartości będzie błędna w wyniku błędu rachunkowego.
3 pkt
• Gdy obliczysz poprawnie wysokość ostrosłupa oraz pole podstawy (patrz: Krok 1. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz obliczysz objętość ostrosłupa zapominając o tym, że we wzorze jest mnożenie przez \(\frac{1}{3}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 28. (4pkt) Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny \(ABCDEF\) o podstawach \(ABC\) i \(DEF\) i krawędziach bocznych \(AD\), \(BE\) i \(CF\) (zobacz rysunek). Długość krawędzi podstawy \(AB\) jest równa \(8\), a pole trójkąta \(ABF\) jest równe \(52\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=176\sqrt{3}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy do głównego rysunku dwie wysokości – pierwszą niech będzie wysokość trójkąta \(ABC\) oraz drugą, tym razem trójkąta \(ABF\). Dodatkowo podpiszmy długości poszczególnych boków, a skoro jest to graniastosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie mamy trójkąt równoboczny, czyli więc wszystkie krawędzie podstawy mają długość \(8\).
Krok 2. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABF\), czyli odcinka \(FG\).
Możemy dostrzec, że trójkąt \(ABF\) jest trójkątem równoramiennym (obydwa ramiona są przekątnymi identycznych ścian bocznych). Korzystając więc z pola trójkąta podanego w treści zadania (\(P=52\)) oraz długości podstawy trójkąta (\(a=8\)) możemy obliczyć wysokość trójkąta \(ABF\):
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h_{1} \\
52=\frac{1}{2}\cdot8\cdot h_{1} \\
52=4h_{1} \\
h_{1}=13$$
Wysokość \(|FG|\) jest więc równa \(13\).
Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta \(ABC\), czyli odcinka \(CG\).
Jak już sobie ustaliliśmy – w podstawie jest trójkąt równoboczny o boku długości \(a=8\). Jego wysokość możemy więc obliczyć korzystając z następującego wzoru:
$$h_{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
h_{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
h_{2}=4\sqrt{3}$$
Wysokość \(|CG|\) jest więc równa \(4\sqrt{3}\).
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa, czyli odcinka \(FC\).
Do obliczenia objętości potrzebna nam jest oczywiście wysokość graniastosłupa. Wyznaczymy ją przy pomocy Twierdzenia Pitagorasa z trójkąta \(FCG\):
$$|FC|^2+|CG|^2=|FG|^2 \\
|FC|^2+(4\sqrt{3})^2=13^2 \\
|FC|^2+16\cdot3=169 \\
|FC|^2+48=169 \\
|FC|^2=121 \\
|FC|=11$$
Wysokość całego graniastosłupa jest więc równa \(H=11\).
Krok 5. Obliczenie pola podstawy.
Skoro w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny, to jego pole jest równe:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{8^2\sqrt{3}}{4} \\
P=\frac{64\sqrt{3}}{4} \\
P=16\sqrt{3}$$
Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie dane, tak więc możemy przystąpić do obliczenia objętości:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=16\sqrt{3}\cdot11 \\
V=176\sqrt{3}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość wysokości trójkąta \(ABF\), czyli \(FG=13\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość wysokości trójkąta znajdującego się w podstawie, czyli odcinka \(CG=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość odcinka \(FG=13\) jak i \(CG=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej ściany bocznej \(AF=\sqrt{185}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość graniastosłupa, czyli \(H=11\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 29. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\) i wierzchołku \(S\) trójkąt \(ACS\) jest równoboczny i ma bok długości \(8\). Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa (zobacz rysunek).
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną \(AC\), bo z treści zadania wynika, że będziemy pracować na trójkącie \(ACS\).
Warto zauważyć, że skoro \(ACS\) jest trójkątem równobocznym, to \(|AC|=|AS|=|SD|=8\).
Potrzebujemy obliczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy, czyli zgodnie z naszym rysunkiem:
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|}$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to w swojej podstawie ma on na pewno kwadrat. My znamy długość przekątnej tego kwadratu, bo \(|AC|=8\). Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\), zatem:
$$a\sqrt{2}=8 \\
a=\frac{8}{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru na wysokość w trójkącie równobocznym, wiedząc że bok naszego trójkąta \(ACS\) ma długość \(a=8\).
$$|SE|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=\frac{8\sqrt{3}}{2} \\
|SE|=4\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(SF\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Spójrzmy na trójkąt \(FDS\). Jest to na pewno trójkąt prostokątny, bo wysokość ściany bocznej jest opuszczona pod kątem prostym. Punkt \(F\) znajduje się w połowie długości odcinka \(AD\), bo \(ADS\) jest trójkątem równoramiennym, a wysokość trójkąta równoramiennego dzieli podstawę na dwie równe części. Długość odcinka \(AD\) wyliczyliśmy w drugim kroku, a to oznacza, że:
$$|FD|=\frac{1}{2}\cdot4\sqrt{2} \\
|FD|=2\sqrt{2}$$
Skoro znamy długość \(|FD|=2\sqrt{2}\), wiemy też, że \(|SD|=8\), to z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy potrzebną nam długość \(|SF|\):
$$|FD|^2+|SF|^2=|SD|^2 \\
(2\sqrt{2})^2+|SF|^2=8^2 \\
4\cdot2+|SF|^2=64 \\
8+|SF|^2=64 \\
|SF|^2=56 \\
|SF|=\sqrt{56}=\sqrt{4\cdot14}=2\sqrt{14}$$
Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Wszystkie potrzebne długości już wyznaczyliśmy, zatem wystarczy je tylko podstawić do wzoru który zapisaliśmy sobie w pierwszym kroku.
$$sinα=\frac{|SE|}{|SF|} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{14}}{2\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{2\cdot14} \\
sinα=\frac{4\sqrt{42}}{28} \\
sinα=\frac{\sqrt{42}}{7}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy, czyli \(a=4\sqrt{2}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa, czyli \(|SE|=4\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa, czyli \(|SF|=2\sqrt{14}\) (patrz: Krok 4.).
3 pkt
• Gdy obliczysz zarówno długość krawędzi podstawy jak i wysokości ostrosłupa oraz ściany bocznej (patrz: Krok 2. oraz 3. oraz 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz, że \(tgα=\sqrt{6}\).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 30. (4pkt) Pole podstawy prawidłowego ostrosłupa czworokątnego jest równe \(100cm^2\), a jego pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=400cm^3\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Do obliczenia objętości potrzebujemy miarę wysokości ostrosłupa, czyli odcinka \(SO\). Obliczmy ją z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to musimy poznać miary odcinków \(OE\) oraz \(SE\).
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz odcinka \(OE\).
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w swojej podstawie kwadrat. Skoro pole powierzchni jest równe \(100cm^2\), to długość krawędzi podstawy jest równa \(10cm\).
Odcinek \(OE\) jest równy połowie długości podstawy, czyli \(|OE|=5cm\).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(SE\), czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Pole powierzchni bocznej jest równe \(260cm^2\). Skoro mamy cztery identyczne trójkątne ściany, a każda z nich ma w podstawie trójkąt, to z tego pola powierzchni będziemy w stanie wyznaczyć wysokość każdego takiego trójkąta, czyli nasz odcinek \(SE\).
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah \\
260cm^2=4\cdot\frac{1}{2}\cdot10cm\cdot h \\
260cm^2=20cm\cdot h \\
h=13cm$$
Mamy już więc kolejną długość \(|SE|=13cm\).
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(SO\), czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa na trójkącie \(SOE\).
$$a^2+b^2=c^2 \\
|OE|^2+|SO|^2=|SE|^2 \\
(5cm)^2+|SO|^2=(13cm)^2 \\
25cm^2+|SO|^2=169cm^2 \\
|SO|^2=144cm^2 \\
|SO|=12cm \quad\lor\quad |SO|=-12cm$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość ostrosłupa nie może być ujemna.
Krok 4. Obliczenie objętości bryły.
Znamy pole podstawy, mamy obliczoną wysokość ostrosłupa, więc wystarczy już tylko podstawić dane do wzoru:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot100cm^2\cdot12cm \\
V=400cm^3$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy rozwiążesz zadanie błędnie tylko dlatego, że przymiesz iż pole powierzchni bocznej to pole powierzchni tylko jednej ściany bocznej, a nie suma powierzchni wszystkich ścian bocznych.
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 31. (4pkt) Podstawą graniastosłupa \(ABCDEFGH\) jest prostokąt \(ABCD\) (zobacz rysunek), którego krótszy bok ma długość \(3\). Przekątna prostokąta \(ABCD\) tworzy z jego dłuższym bokiem kąt \(30°\). Przekątna \(HB\) graniastosłupa tworzy z płaszczyzną jego podstawy kąt \(60°\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=162\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy sobie na rysunku kąty \(30°\) i \(60°\) oraz odpowiednie długości boków omówione w treści zadania:
Wbrew pozorom już podczas zaznaczania odpowiednich długości można było popełnić spory błąd. Skąd wiemy, że to akurat boki \(AD\) oraz analogicznie \(BC\) są tymi krótszymi i akurat one mają długość \(3\)? Treść zadania nie sugeruje nam tego wprost, ale wynika to chociażby z własności trójkątów \(30°\), \(60°\), \(90°\), a takim jest trójkąt \(ABD\). W takich trójkątach dłuższą przyprostokątną jest ten bok, który znajduje się przy kącie \(30°\) i stąd też wiemy, że dłuższymi krawędziami są \(AB\) oraz analogicznie \(CD\), a krótszymi są \(AD\) oraz \(BC\).
Do obliczenia objętości będziemy potrzebowali znać długości boków prostokąta oraz wysokość całego graniastosłupa, zatem wyznaczmy po kolei każdą z wartości.
Krok 2. Obliczenie miary dłuższego boku prostokąta.
Do obliczenia długości, którą oznaczyliśmy sobie jako \(a\) skorzystamy z trójkąta \(ABD\). Użyjemy tutaj albo własności trójkąta \(30°, 60°, 90°\), albo funkcji tangensa:
$$tg30°=\frac{3}{a} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{a}$$
Mnożąc na krzyż otrzymamy:
$$\sqrt{3}a=9 \\
a=\frac{9}{\sqrt{3}}=\frac{9\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{9\sqrt{3}}{3}=3\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej podstawy.
Ponownie spoglądamy na trójkąt \(ABD\). Do obliczenia długości przekątnej \(DB\) skorzystamy z Twierdzenia Pitagorasa i z miary boku prostokąta, którą obliczyliśmy przed chwilą:
$$3^2+(3\sqrt{3})^2=|DB|^2 \\
9+9\cdot3=|DB|^2 \\
9+27=|DB|^2 \\
|DB|^2=36 \\
|DB|=6$$
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(DBH\). Odcinek \(DH\), który oznaczyliśmy sobie jako \(H\) wyliczymy z funkcji tangensa (właśnie po to liczyliśmy przed chwilą długość przekątnej \(DB\)):
$$tg60°=\frac{H}{6} \\
\sqrt{3}=\frac{H}{6} \\
H=6\sqrt{3}$$
Krok 5. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Znamy wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczeń objętości:
$$V=P_{p}\cdot H \\
V=3\cdot3\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=9\sqrt{3}\cdot6\sqrt{3} \\
V=54\cdot3 \\
V=162$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz miarę dłuższego boku prostokąta (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy obliczysz miarę dłuższego boku prostokąta oraz długość przekątnej podstawy graniastosłupa (patrz: Krok 2. oraz 3.).
ALBO
• Gdy obliczysz pole podstawy graniastosłupa \(P_{p}=9\sqrt{3}\).
3 pkt
• Gdy obliczysz dodatkowo wysokość graniastosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 32. (2pkt) Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu. Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(s=3+\sqrt{3}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie przekątną sześcianu (\(s\)) oraz przekątną podstawy (\(d\)), która przyda nam się do dalszych obliczeń. I tu od razu możemy zauważyć, że nasza przekątna podstawy jest tak naprawdę przekątną kwadratu, który znalazł się w podstawie sześcianu. Zatem jeśli długość krawędzi oznaczymy jako \(a\) to \(d=a\sqrt{2}\).
Krok 2. Wyznaczenie wzoru ogólnego na długość przekątnej sześcianu.
Ten krok możemy pominąć, jeśli po prostu pamiętamy że przekątna sześcianu jest opisana wzorem \(s=a\sqrt{3}\). Niestety tego wzoru nie ma w tablicach maturalnych, dlatego zobaczmy jak go łatwo możemy sobie wyprowadzić.
Spójrzmy na trójkąt \(BDH\). Jest on prostokątny, a jego przyprostokątne mają długośc odpowiednio \(a\) oraz \(a\sqrt{2}\). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa otrzymamy:
$$a^2+(a\sqrt{2})^2=s^2 \\
a^2+2a^2=s^2 \\
s^2=3a^2 \\
s=\sqrt{3\cdot a^2} \\
s=a\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej sześcianu.
Z treści zadania wynika, że \(a=s-2\). Możemy teraz podstawić tą zależność do wyznaczonego wzoru z kroku drugiego i otrzymamy wtedy:
$$s=(s-2)\sqrt{3} \\
s=s\sqrt{3}-2\sqrt{3} \\
s-s\sqrt{3}=-2\sqrt{3} \quad\bigg/\cdot(-1) \\
s\sqrt{3}-s=2\sqrt{3} \\
s(\sqrt{3}-1)=2\sqrt{3} \\
s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}$$
(Mnożenie przez \(-1\) nie było koniecznie, ale sprawiało że pozbyliśmy się minusów, więc warto było ten krok wykonać). Teoretycznie otrzymany wynik można byłoby uznać za prawidłowy, ale warto tutaj jeszcze usunąć niewymierność z mianownika. W tym przypadku wystarczy pomnożyć licznik i mianownik przez (\(\sqrt{3}+1\)).
$$s=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1} \\
s=\frac{2\sqrt{3}\cdot(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}-1\cdot(\sqrt{3}+1)} \\
s=\frac{6+2\sqrt{3}}{3-1} \\
s=\frac{6+2\sqrt{3}}{2} \\
s=3+\sqrt{3}$$ Wyjaśnienie punktacji: 0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy do wzoru na przekątną sześcianu \(s=a\sqrt{3}\) (patrz: Krok 2.) podstawisz równanie \(s=a+2\) lub \(a=s-2\) (patrz: Krok 3.), ale same obliczenia wykonasz błędnie.
2 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 33. (4pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(tgα=\frac{\sqrt{3}}{9}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):
Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:
$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$
Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.
Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.
Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).
Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:
$$r=\frac{1}{3}\cdot h\\
r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
2=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\
a\sqrt{3}=12 \\
a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$
Krok 3. Obliczenie pola podstawy.
Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=12\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej – wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H \\
72=4\sqrt{3}\cdot H \\
H=\frac{72}{4\sqrt{3}} \\
H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$
Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:
$$|OD|=r=2 \\
|SO|=H=6\sqrt{3} \\
\text{więc} \\
tgα=\frac{|OD|}{|SO|} \\
tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy na rysunku zaznaczysz kąt między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość boku trójkąta znajdującego się w podstawie (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 34. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym \(ABCDS\) (zobacz rysunek) przekątna \(AC\) podstawy ma długość \(4\sqrt{2}\). Kąt \(ASC\) między przeciwległymi krawędziami bocznymi ostrosłupa ma miarę \(60°\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=\frac{32\sqrt{6}}{3}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego i analiza danych z treści zadania.
Dorysujmy sobie wysokość naszego ostrosłupa, bo będzie nam ona potrzebna do obliczenia objętości. Widzimy wyraźnie, że wysokość ostrosłupa jest jednocześnie wysokością trójkąta \(ACS\). Skoro jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny, to wszystkie ramiona trójkąta \(ACS\) mają tą samą długość (patrz kolor pomarańczowy na rysunku), a więc na pewno jest to trójkąt równoramienny. Ale… okazuje się, że on jest nawet nie tyle równoramienny, co równoboczny. Skąd to wynika? Wiemy, że między pomarańczowymi ramionami kąt ma miarę \(60°\). To oznacza, że kąty przy podstawie muszą mieć łącznie \(180°-60°=120°\). W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie muszą mieć tą samą miarę, czyli każdy z nich ma\(120°:2=60°\). Z tego wynika, że wszystkie kąty trójkąta \(ACS\) będą mieć \(60°\).
Dostrzeżenie tej własności bardzo ułatwia nam rozwiązanie zadania, bo w tablicach mamy bezpośredni wzór na wysokość trójkąta równobocznego. Gdybyśmy nie zauważyli że to trójkąt równoboczny, to moglibyśmy próbować obliczyć wysokość z tangensa w trójkącie \(AOS\).
Krok 2. Obliczenie pola podstawy.
W podstawie mamy na pewno kwadrat, bo jest to ostrosłup prawidłowy czworokątny. Z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną równą \(a\sqrt{2}\). Długość tej przekątnej jest podana w treści i wynosi \(|AC|=4\sqrt{2}\), zatem w podstawie mamy kwadrat o boku \(4\). To oznacza, że jego pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=4^2 \\
P_{p}=16$$
Krok 3. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Z treści zadania wiemy, że \(|AC|=4\sqrt{2}\). Ta przekątna kwadratu jest jednocześnie podstawią naszego trójkąta równobocznego \(ACS\), a więc wysokość obliczymy w następujący sposób:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{2} \\
H=2\sqrt{6}$$
Krok 4. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne informacje, więc możemy podstawić dane i obliczyć objętość ostrosłupa.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot2\sqrt{6} \\
V=\frac{32\sqrt{6}}{3}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.)
2 pkt
• Gdy pole podstawy (patrz: Krok 2.).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 35. (4pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest kwadrat. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest równa \(22\), a tangens kąta nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy \(\frac{4\sqrt{6}}{5}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Zaznaczmy na rysunku z treści zadania odpowiednie długości, które zostały nam podane w treści. Skoro znamy tangens kąta nachylenia ściany bocznej, to także dorysujemy sobie wysokość naszej bocznej ściany.
Już na podstawie tego rysunku warto zauważyć, że jeśli krawędź podstawy oznaczymy sobie jako \(a\), to odcinek \(|OE|=\frac{1}{2}a\).
Krok 2. Wyznaczenie wzoru na wysokość ostrosłupa.
Korzystając z tangensa spróbujmy wyznaczyć wzór na wysokość ostrosłupa.
$$tgα=\frac{|SO|}{|OE|} \\
\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a} \quad\bigg/\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{4\sqrt{6}}{5}\cdot\frac{1}{2}a \\
H=\frac{2\sqrt{6}}{5}a$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy (\(a\)).
Z Twierdzenia Pitagorasa wiemy, że:
$$\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{2\sqrt{6}}{5}a\right)^2=22^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{4\cdot6}{25}a^2=484 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{24}{25}a^2=484 \\
\frac{25}{100}a^2+\frac{96}{100}a^2=484 \quad\bigg/\cdot100 \\
25a^2+96a^2=48400 \\
121a^2=48400 \\
a^2=400 \\
a=20$$
Krok 4. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Skoro sama podstawa jest kwadratem to jej pole będzie równe:
$$P_{p}=a^2 \\
P_{p}=20^2 \\
P_{p}=400$$
Krok 5. Obliczenie długości wysokości ostrosłupa.
Podstawiając \(a=20\) do wzoru na wysokość ostrosłupa wyznaczonego w kroku drugim otrzymamy:
$$H=\frac{2\sqrt{6}}{5}\cdot20 \\
H=\frac{40\sqrt{6}}{5} \\
H=8\sqrt{6}$$
Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając miary wysokości ostrosłupa oraz jego pole podstawy możemy bez problemów obliczyć jego objętość:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p} \cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot400\cdot8\sqrt{6} \\
V=\frac{3200\sqrt{6}}{3}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy nie wykonasz jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy korzystając z własności tangensa zapiszesz, że \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy korzystając z Twierdzenia Pitagorasa zapiszesz równanie np. \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) (patrz: Krok 3.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy \(a=20\) (patrz: Krok 3.).
ALBO
• Gdy zapiszesz układ równań składający się przykładowo z równań: \(\left(\frac{1}{2}a\right)^2+H^2=22^2\) oraz \(\frac{4\sqrt{6}}{5}=\frac{H}{\frac{1}{2}a}\).
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość krawędzi podstawy\(a=20\) (patrz: Krok 3.) oraz obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=8\sqrt{6}\) (patrz: Krok 5.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 36. (4pkt) Wysokość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(16\). Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(P_{c}=144+384\sqrt{2}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W zadaniu mowa o graniastosłupie prawidłowym czworokątnym, a to oznacza, że w podstawie znajduje się kwadrat. Jeśli więc bok kwadratu oznaczylibyśmy sobie jako \(a\), to przekątna \(|AC|=a\sqrt{2}\).
Kluczem do rozwiązania tego zadania będzie poznanie długości \(a\), bo wtedy obliczymy pole podstawy i pola ścian bocznych.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|EC|\).
Spójrzmy na trójkąt \(ACE\). Znamy długość \(|AE|=16\). Wiemy też, że \(|AC|=a\sqrt{2}\). Gdyby więc udało nam się jeszcze ustalić długość odcinka \(|EC|\) to długość \(a\) obliczylibyśmy z Twierdzenia Pitagorasa.
Z pomocą przyjdzie nam informacja mówiąca o tym, że \(cosα=\frac{3}{5}\).
$$cosα=\frac{|AC|}{|EC|} \\
\frac{3}{5}=\frac{a\sqrt{2}}{|EC|} \quad\bigg/\cdot\|EC|\\
\frac{3}{5}|EC|=a\sqrt{2} \quad\bigg/\cdot\frac{5}{3} \\
|EC|=\frac{5\sqrt{2}a}{3}$$
Krok 3. Wyznaczenie długości krawędzi \(a\) z wykorzystaniem Twierdzenia Pitagorasa.
$$a^2+b^2=c^2 \\
|AC|^2+|AE|^2=|EC|^2 \\
(a\sqrt{2})^2+16^2=\left(\frac{5\sqrt{2}a}{3}\right)^2 \\
2a^2+256=\frac{50a^2}{9} \cdot|\cdot9 \\
18a^2+2304=50a^2 \\
-32a^2+2304=0 \quad\bigg/:(-32) \\
a^2-72=0$$
Powstałe równanie możemy obliczyć metodą delty (pamiętaj, że w tym przypadku współczynnik \(b=0\)), ale wygodniej będzie zapisać to w ten sposób:
$$a^2-72=0 \\
a^2=72 \\
a=\sqrt{72} \quad\lor\quad a=-\sqrt{72}$$
Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy. To co jeszcze warto zrobić, to wyłączyć wspólny czynnik przed znak pierwiastka, tak więc:
$$a=\sqrt{72}=a=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$$
Krok 4. Obliczenie pola całkowitego graniastosłupa.
Znając długość \(a=6\sqrt{2}\) możemy już bez przeszkód obliczyć pole całkowite graniastosłupa.
$$P_{c}=2P_{p}+4P_{b} \\
P_{c}=2\cdot a^2+4\cdot a\cdot H \\
P_{c}=2\cdot(6\sqrt{2})^2+4\cdot6\sqrt{2}\cdot16 \\
P_{c}=2\cdot72+384\sqrt{2} \\
P_{c}=144+384\sqrt{2}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy powiążesz ze sobą długości przekątnej podstawy, przekątnej graniastosłupa i wysokości graniastosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy zapiszesz że \(tgα=\frac{4}{3}\).
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej graniastosłupa: \(|EC|=20\)
ALBO
• Gdy zaznaczysz na rysunku kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy.
ALBO
• Gdy obliczysz całe zadanie, ale otrzymany wynik jest niepoprawny bo pomylisz sinusa z cosinusem.
2 pkt
• Gdy zgodnie z przyjętym przez siebie sposobem rozwiązywaniem zadania otrzymasz równanie lub układ równań w którym jedyną niewiadomą jest długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 2.). Dopuszczalna jest dowolna forma zapisu np. \(a^2-72=0\) albo \(\frac{16}{a\sqrt{2}}=\frac{4}{3}\) albo \(16^2+(a\sqrt{2})^2=20^2\) itd.
ALBO
• Gdy obliczysz długość przekątnej podstawy graniastosłupa: \(|AC|=12\).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy (patrz: Krok 3.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 37. (5pkt) Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest równa \(27\sqrt{3}\). Długość krawędzi \(AB\) podstawy ostrosłupa jest równa \(6\) (zobacz rysunek). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) Wyjaśnienie: Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy ostrosłupa.
Musimy sobie ustalić jaka to figura znajduje się w podstawie naszej bryły. Skoro jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny, to w podstawie znajduje się trójkąt równoboczny. Podaną mamy też długość boku tego trójkąta i jest ona równa \(6\). Policzenie pola podstawy jest więc bardzo proste, bo skoro jest to trójkąt równoboczny to skorzystamy z następującego wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{6^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=9\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znamy pole powierzchni podstawy, znamy też objętość naszej bryły, więc policzymy wysokość ostrosłupa. Przyda nam się ona w późniejszych krokach do wyznaczenia długości ściany bocznej.
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
27\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot9\sqrt{3}\cdot H \\
27\sqrt{3}=3\sqrt{3}\cdot H \\
H=9$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AD\) oraz \(|OD|\).
Spójrzmy teraz na rysunek i na trójkąt \(ODS\). Długość odcinka \(SO\) obliczyliśmy przed chwilą. Musimy jeszcze obliczyć długość odcinka \(OD\) i wtedy z Twierdzenia Pitagorasa wyznaczymy wysokość ściany bocznej.
Z własności trójkąta równobocznego wiemy, że odcinek \(OD\) jest równy \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta.
Wysokość trójkąta, czyli bok \(|AD|\) jest równy:
$$|AD|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
|AD|=3\sqrt{3}$$
Tak więc \(|OD|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}=\sqrt{3}\).
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Teraz bez przeszkód możemy obliczyć wysokość trójkąta w ścianie bocznej:
$$a^2+b^2=c^2 \\
|SO|^2+|OD|^2=|SD|^2 \\
9^2+(\sqrt{3})^2=|SD|^2 \\
81+3=|SD|^2 \\
|SD|=\sqrt{84}=\sqrt{4\cdot21}=2\sqrt{21}$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni ściany bocznej.
Obliczmy teraz pole pojedynczej ściany bocznej naszego ostrosłupa:
$$P_{b}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot2\sqrt{21} \\
P_{b}=6\sqrt{21}$$
Krok 6. Obliczenie pola całkowitego ostrosłupa.
$$P_{c}=P_{p}+3\cdot P_{b} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+3\cdot6\sqrt{21} \\
P_{c}=9\sqrt{3}+18\sqrt{21}$$
Otrzymana postać jest chyba najlepszą możliwą do otrzymania. Alternatywnie moglibyśmy zapisać to jako \(P_{c}=9\sqrt{3}\cdot(1+2\sqrt{7})\) lub też obliczyć przybliżenie tej liczby jako \(\approx98,07\). Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz pole podstawy ostrosłupa (patrz: Krok 1.).
2 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa (patrz: Krok 2.) oraz długość odcinka \(OD\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ściany bocznej ostrosłupa (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy doprowadzisz zadanie do końca, ale otrzymasz złą odpowiedź przez błąd rachunkowy.
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 38. (4pkt) Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3:4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\). Oblicz objętość ostrosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:
Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\).
Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:
$$3x\cdot4x=192 \\
12x^2=192 \\
x^2=16 \\
x=4$$
Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:
$$|AB|=3x=3\cdot4=12 \\
|BC|=4x=4\cdot4=16$$
Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).
Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):
$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\
12^2+16^2=|AC|^2 \\
144+256=|AC|^2 \\
|AC|^2=400 \\
|AC|=20$$
Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:
$$|AE|=\frac{1}{2}|AC| \\
|AE|=\frac{1}{2}\cdot20 \\
|AE|=10$$
Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.
Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:
$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|} \\
\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10} \\
|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$
Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).
Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:
$$P_{p}=192 \\
H=\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
\\
V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\
V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy obliczysz długości boków prostokąta znajdującego się w podstawie \(|AB|=12\) oraz \(|BC|=16\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy obliczysz długość przekątnej prostokąta znajdującego się w podstawie \(|AC|=20\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 39. (5pkt) Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Wysokość \(SO\) tego ostrosłupa jest równa wysokości jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa jest równa \(27\). Oblicz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(ABCS\) oraz cosinus kąta, jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(P_{b}=9\sqrt{30}\) oraz \(cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest zawsze trójkąt równoboczny (co zresztą jest jeszcze potwierdzone w treści zadania), więc każdą długość jego krawędzi podstawy oznaczmy sobie jako niewiadomą \(a\).
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy ze wzoru na objętość.
Wzór na objętość ostrosłupa to \(V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H\). Potrzebujemy więc znać pole podstawy i wysokość bryły.
a) Pole powierzchni trójkąta równobocznego (będącego podstawą bryły) możemy zapisać jako \(P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
b) Wysokość ostrosłupa jest zgodnie z treścią zadania równa wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego też jest nam znany, stąd \(H=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
c) Objętość mamy podaną w treści zadania i jest ona równa \(27\).
Podstawiając te wszystkie informacje do wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
27=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
27=\frac{a^3\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{24} \\
27=\frac{3a^3}{24} \\
27=\frac{a^3}{8} \\
a^3=27\cdot8 \\
a^3=216 \\
a=6$$
Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znając już wartość długości krawędzi podstawy możemy zapisać wysokość ostrosłupa (i tym samym wysokość trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie) w formie konkretnej liczby:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
H=\frac{6\sqrt{3}}{2} \\
H=3\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej, czyli odcinka \(|DS|\).
Aby obliczyć pole powierzchni ściany bocznej ostrosłupa (bo o nią proszą nas w zadaniu) potrzebujemy znać długość podstawy (tą już mamy wyliczoną) oraz wysokość ściany bocznej – i to właśnie ją teraz sobie policzymy.
Do wyznaczenia wysokości ściany bocznej posłużymy się trójkątem prostokątnym \(DOS\). Odcinek \(DO\) zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta, czyli:
$$|DO|=\frac{1}{3}h \\
|DO|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3} \\
|DO|=\sqrt{3}$$
Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$|DO|^2+|OS|^2=|DS|^2 \\
(\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=|DS|^2 \\
3+9\cdot3=|DS|^2 \\
|DS|^2=30 \\
|DS|=\sqrt{30}$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pamiętając o tym, że mamy trzy trójkąty w ścianach bocznych, to pole powierzchni bocznej jest równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|DS|\cdot3 \\
P_{b}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt{30}\cdot3 \\
P_{b}=9\sqrt{30}$$
Krok 6. Obliczenie cosinusa kąta \(SDB\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać wartość cosinusa jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. W naszym przypadku będzie to kąt \(SDB\):
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{|DO|}{|DS|} \\
cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$$
Usuwając jeszcze niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{30}}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{90}}{30}= \\
=\frac{\sqrt{9\cdot10}}{30}=\frac{3\sqrt{10}}{30}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć długość krawędzi podstawy ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=27\) (patrz: Krok 2.)
ALBO
• Gdy zapiszesz równanie pozwalające obliczyć wysokość ostrosłupa np. \(\frac{1}{3}\cdot\frac{\left(\frac{2H}{\sqrt{3}}\right)^2\cdot\sqrt{3}}{4}\cdot H=27\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=6\) (patrz: Krok 2.).
ALBO
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=3\sqrt{3}\) (patrz: Krok 3.).
3 pkt
• Gdy obliczysz długość ściany bocznej ostrosłupa \(|DS|=\sqrt{30}\) (patrz: Krok 4.).
ALBO
• Gdy obliczysz długość krawędzi bocznej ostrosłupa \(|SB|=\sqrt{39}\).
4 pkt
• Gdy obliczysz pole powierzchni bocznej ostrosłupa \(P_{b}=9\sqrt{30}\) (patrz: Krok 5.).
ALBO
• Gdy wyznaczysz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy: \(cosα=\frac{\sqrt{10}}{10}\) (patrz: Krok 6.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 40. (5pkt) Trójkąt równoboczny \(ABC\) jest podstawą ostrosłupa prawidłowego \(ABCS\), w którym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(60°\), a krawędź boczna ma długość \(7\) (zobacz rysunek). Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=21\sqrt{7}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Dodatkowo możemy opisać sobie długość boku podstawy jako \(a\), pamiętając w podstawie jest trójkąt równoboczny.
Krok 2. Wyznaczenie długości odcinka \(|DC|\) oraz \(|DO|\).
Odcinek \(|DC|\) jest wysokością trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie. Jeżeli założyliśmy sobie, że krawędź podstawy ma długość \(a\), to zgodnie ze wzorami wysokość jest takiego trójkąta jest równa \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Odcinek \(|DO|\) będzie mieć zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego długość równą \(\frac{1}{3}\) długości wysokości:
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot|DC|=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$$
Krok 3. Wyznaczenie długości odcinka \(DS\).
Spójrzmy na trójkąt \(DOS\).
W tym kroku wyznaczymy długość odcinka \(DS\), który jest jednocześnie wysokością ściany bocznej naszej bryły. Do jego wyznaczenia wykorzystamy funkcję cosinusa:
$$\frac{|DO|}{|DS|}=cos60° \\
\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{|DS|}=\frac{1}{2} \\
\frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}\cdot|DS| \\
|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}$$
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(OS\), czyli wysokości ostrosłupa.
Nadal korzystamy z trójkąta \(DOS\) i tym razem wykorzystamy funkcję sinusa:
$$\frac{|OS|}{|DS|}=sin60° \\
\frac{|OS|}{\frac{a\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\
|OS|=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3} \\
|OS|=\frac{3a}{6}=\frac{1}{2}a$$
Krok 5. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Tym razem interesuje nas trójkąt \(BDS\), bo to z niego uda nam się wyznaczyć wartość niewiadomej \(a\), którą oznaczyliśmy długość krawędzi podstawy i która pojawiła nam się już w dotychczasowych obliczeniach.
Długość odcinka \(DS\) obliczyliśmy przed chwilą w trzecim kroku i jest ona równa \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Długość odcinka \(BS\) jest podana w treści zadania i wynosi \(7\). Brakuje nam jeszcze długości odcinka \(DB\), ale wiedząc, że wysokość trójkąta równoramiennego (a taki mamy w ścianach bocznych) przecina podstawę w połowie jej długości to możemy zapisać, że \(|DB|=\frac{1}{2}a\). Znamy długości wszystkich boków, więc podstawmy te dane do Twierdzenia Pitagorasa.
$$|DB|^2+|DS|^2=|BS|^2 \\
\left(\frac{1}{2}a\right)^2+\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2=7^2 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{a^2\cdot3}{9}=49 \\
\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{3}a^2=49 \quad\bigg/\cdot12 \\
3a^2+4a^2=588 \\
7a^2=588 \\
a^2=84 \\
a=\sqrt{4\cdot21} \\
a=2\sqrt{21}$$
Krok 6. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Do obliczenia objętości potrzebujemy znać pole podstawy oraz wysokość bryły.
Pole podstawy wyznaczymy ze wzoru \(P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), gdzie \(a=2\sqrt{21}\), zatem:
$$P_{p}=\frac{(2\sqrt{21})^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\cdot21\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=21\sqrt{3}$$
Wysokością jest nasz odcinek \(|OS|=\frac{1}{2}a\). Wystarczy więc podstawić \(a=2\sqrt{21}\) i otrzymamy wysokość ostrosłupa.
$$H=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{21}=\sqrt{21}$$
Znając pole podstawy i wysokość obliczymy teraz objętość bryły:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\cdot21\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{21} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3\cdot7} \\
V=7\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{7} \\
V=7\cdot3\cdot\sqrt{7} \\
V=21\sqrt{7}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy wyznaczysz długości odcinków \(|DC|=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) oraz \(|DO|=\frac{a\sqrt{3}}{6}\) (patrz: Krok 2.).
2 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|DS|=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) (patrz: Krok 3.)
3 pkt
• Gdy wyznaczysz długość odcinka \(|OS|=\frac{1}{2}a\) (patrz: Krok 4.).
4 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy \(a=2\sqrt{21}\) (patrz: Krok 5.).
5 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Zadanie 41. (4pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadła do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5\sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa. Odpowiedź Wyjaśnienie Punktacja Odpowiedź \(V=\frac{\sqrt{209}}{12}\) Wyjaśnienie: Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Krok 2. Obliczenie pola pojedynczej ściany bocznej.
Wiemy, że wszystkie ściany boczne mają łączną powierzchnię równą \(\frac{15\sqrt{3}}{4}\). Skoro są trzy takie ściany, to każda z nich ma pole powierzchni równe:
$$P_{śb}=\frac{15\sqrt{3}}{4}:3=\frac{5\sqrt{3}}{4}$$
Krok 3. Obliczenie długości krawędzi podstawy \(a\).
W podstawie ostrosłupa mamy trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny. To oznacza, że każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie \(a\) oraz wysokości \(h=\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (wysokość jest podana w treści zadania). Skoro tak, to z pola trójkąta możemy wyznaczyć długość krawędzi \(a\):
$$P_{śb}=\frac{1}{2}a\cdot h \\
\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/:\frac{5\sqrt{3}}{4} \\
1=\frac{1}{2}a \\
a=2$$
Krok 4. Obliczenie długości odcinka \(DE\).
Odcinek \(DE\) stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta równobocznego (czyli odcinka \(DB\)) znajdującego się w podstawie. Ze wzorów na wysokość trójkąta równobocznego wiemy, że:
$$|DB|=\frac{a\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\frac{2\sqrt{3}}{2} \\
|DB|=\sqrt{3}$$
Skoro odcinek \(DE\) ma stanowić \(\frac{1}{3}\) długości odcinka \(DB\), to:
$$|DE|=\frac{1}{3}\cdot\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$
Krok 5. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(DES\):
$$|DE|^2+|SE|^2=|DS|^2 \\
\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2+|SE|^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{4}\right)^2 \\
\frac{3}{9}+|SE|^2=\frac{25\cdot3}{16} \\
\frac{1}{3}+|SE|^2=\frac{75}{16} \\
\frac{16}{48}+|SE|^2=\frac{225}{48} \\
|SE|^2=\frac{225}{48}-\frac{16}{48} \\
|SE|^2=\frac{209}{48} \\
|SE|=\sqrt{\frac{209}{48}}=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{627}}{12}$$
Krok 6. Obliczenie pola podstawy ostrosłupa.
Pole trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie obliczymy według wzoru:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\frac{4\sqrt{3}}{4} \\
P_{p}=\sqrt{3}$$
Krok 7. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Skoro \(P_{p}=\sqrt{3}\) oraz \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\), to objętość ostrosłupa będzie równa:
$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{627}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot\sqrt{3}}{12} \\
V=\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{209}\cdot3}{12} \\
V=\frac{\sqrt{209}}{12}$$ Wyjaśnienie punktacji: Przyznaj sobie:
0 pkt
• Gdy brakuje jakiegokolwiek postępu prowadzącego do rozwiązania zadania.
1 pkt
• Gdy zapiszesz równanie z którego da się wyliczy długość krawędzi podstawy np. \(\frac{5\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{5\sqrt{3}}{4}\) (patrz: Krok 3.)
ALBO
• Gdy zapiszesz, że \(|DE|=\frac{1}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\) lub \(|EB|=\frac{2}{3}a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\)
2 pkt
• Gdy obliczysz długość krawędzi podstawy: \(a=2\) (patrz: Krok 3.) oraz zapiszesz równanie prowadzące do obliczenia wysokości ostrosłupa np. wykorzystując układ równań albo Twierdzenie Pitagorasa (patrz: Krok 4.)
3 pkt
• Gdy obliczysz wysokość ostrosłupa \(H=\frac{\sqrt{627}}{12}\) lub \(H=\frac{\sqrt{209}}{4\sqrt{3}}\).
ALBO
• Gdy rozwiążesz całe zadania, ale otrzymasz niepoprawny wynik w wyniku błędu rachunkowego.
4 pkt
• Gdy otrzymasz oczekiwany wynik.
Geometria przestrzenna
Zadanie 37. (SP07)
Dany jest graniastosłup czworokątny prosty ABCDEF GH o podstawach ABCD i EF GH oraz krawędziach bocznych AE , BF , CG , DH . Podstawa ABCD graniastosłupa jest rombem o boku długości 8 cm i kątach ostrych A i C o mierze 60 stopni. . Przekątna graniastosłupa CE jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 60 stopni . Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Graniastosłupy i ostrosłupy (zadania)
Graniastosłupy i ostrosłupy (zadania)
Wiedza w pigułce
GRANIASTOSŁUP
Graniastosłupem nazywamy figurę przestrzenną, której dwie ściany zwane podstawami są przystającymi wielokątami zawartymi w płaszczyznach równoległych, a ściany boczne są równoległobokami.
W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw).
ściany boczne są prostokątami (są prostopadłe do podstaw). Graniastosłup nazywamy prawidłowym , jeśli jest prosty i podstawy są wielokątami foremnymi.
, jeśli jest prosty i podstawy są wielokątami foremnymi. Przekątna graniastosłupa to odcinek łączący dwa wierzchołki nienależące do płaszczyzny jednej ściany.
Wysokość graniastosłupa to odcinek prostopadły do podstaw, jego końce leżą na płaszczyznach, w których się te podstawy zawierają.
Zapamiętaj wzory!
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
Pole powierzchni graniastosłupa jest to suma pól wszystkich ścian bocznych i dwóch podstaw (jest ono równe polu powierzchni jego siatki).
Objętość graniastosłupa
OSTROSŁUP
Ostrosłupem nazywamy wielościan, którego jedna ściana, zwana podstawą, jest dowolnym wielokątem, a pozostałe ściany są trójkątami mającymi wspólny wierzchołek.
Trójkąty tworzące ściany nazywamy ścianami bocznymi, a ich wspólny wierzchołek – wierzchołkiem ostrosłupa.
Boki podstawy nazywamy krawędziami podstawy, a pozostałe krawędzie – krawędziami bocznymi.
Wysokością ostrosłupa nazywamy odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z jego rzutem prostokątnym na płaszczyznę podstawy.
Spodkiem wysokości nazywamy punkt wspólny wysokości i płaszczyzny podstawy.
Jeżeli podstawą ostrosłupa jest trójkąt, to ostrosłup nazywamy trójkątnym, jeżeli czworokąt, to czworokątnym, jeśli pięciokąt, to pięciokątnym itd. Ostrosłup trójkątny nazywamy też czworościanem.
Czworościan, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, nazywamy czworościanem foremnym . W czworościanie foremnym wszystkie krawędzie są jednakowej długości.
. W czworościanie foremnym wszystkie krawędzie są jednakowej długości. Ostrosłup nazywamy prawidłowym , jeżeli jego podstawa jest wielokątem foremnym, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
, jeżeli jego podstawa jest wielokątem foremnym, a wszystkie ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi. W ostrosłupie prawidłowym wszystkie krawędzie boczne mają tę samą długość, a spodek wysokości jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.
Zapamiętaj wzory!
Pole powierzchni ostrosłupa
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa jest równe sumie pola podstawy i pól ścian bocznych.
Objętość ostrosłupa
Zadanie 1
Ile krawędzi, ścian i wierzchołków ma:
a) graniastosłup,
b) ostrosłup,
którego podstawą jest narysowany wielokąt?
Odpowiedzi:
a) Graniastosłup: 15 krawędzi, 7 ścian, 10 wierzchołków.
b) Ostrosłup: 10 krawędzi, 6 ścian, 6 wierzchołków.
Zadanie 2
Szafa w kształcie graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma objętość 0,98m³. Jaką głębokość ma szafa, jeśli jej wysokość wynosi 20 dm?
Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru na objętość, pamiętając o tym, że podstawa jest kwadratem:
V = 0,98 m³ = 980 dm³
H = 20 dm
980 = 20 a²
a² = 49
a = 7 [dm]
Odpowiedź: Szafa ma głębokość 7 dm.
Zadanie 3
Na technice uczniowie postanowili wykonać karmnik dla ptaków. Jego szkielet, przedstawiony na rysunku składa się z graniastosłupa i ostrosłupa prawidłowego czworokątnego. Ile wynosi suma długości listewek potrzebnych na wykonanie tego szkieletu?
Rozwiązanie:
Na szkielet karmnika składa się 8 krawędzi o długości 30 cm, 4 krawędzie o długości 20 cm i 4 krawędzie o długości 25 cm.
8 . 30 + 4 . 20+ 4 . 25 = 240 + 80 + 100 = 420 cm = 4,2 m
Odpowiedź: Suma wszystkich listewek wynosi 4,2 m.
Zadanie 4
Dach zamkowej wieży ma kształt ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 30 m i krawędzi bocznej długości 25 m. Litr farby wystarcza na pomalowanie 6m² powierzchni. Ile pięciolitrowych puszek farby trzeba kupić, aby pomalować trzy dachy takich wież?
Rozwiązanie: Należy zwrócić uwagę, że malujemy tylko powierzchnie boczne wież. Obliczymy najpierw wysokość jednej ściany bocznej, korzystając z twierdzenia Pitagorasa: h² + 15² = 25². Dalej mamy, że h² = 625 – 225, czyli h² = 400 i dalej h = 20 [m]. Teraz możemy wyliczyć pole powierzchni bocznej trzech wież:
Skoro 1 litr farby wystarcza na pomalowanie 6 m² powierzchni, to jedna pięciolitrowa puszka starczy na pomalowanie
30 m² powierzchni. Z tego wynika, że na pomalowanie 5400 m² powierzchni trzeba kupić 180 puszek farby, bo 5400 : 30 = 180.
Odpowiedź: Aby pomalować dachy trzech wież należy kupić 180 pięciolitrowych puszek farby.
Zadanie 5
Suma długości wszystkich krawędzi czworościanu foremnego jest równa 54 cm. Czy 1,5 dm² papieru wystarczy na jego oklejenie?
Rozwiązanie: W czworościanie foremnym jest 6 krawędzi, czyli długość jednej krawędzi wynosi 9 cm (54 : 6 = 9).
Pole powierzchni czworościanu to suma pól czterech trójkątów równobocznych.
Wzór na pole trójkąta równobocznego:
Odpowiedź: Na oklejenie tego czworościanu wystarczy 1,5 dm² papieru.
Zadanie 6
Podstawą graniastosłupa jest romb. Długości przekątnych podstawy i wysokość graniastosłupa mają się do siebie jak 1:2:4. Objętość graniastosłupa wynosi 32 cm³. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Niech e oraz f oznaczają długości przekątnych rombu, a długość boku rombu, H wysokość graniastosłupa, natomiast x długość jednostkowego odcinka. Mamy wtedy: e = 1x, f = 2x, H = 4x.
Objętość graniastosłupa obliczamy mnożąc pole podstawy przez wysokość.
Objętość graniastosłupa można zapisać
czyli
Po obustronnym podzieleniu przez 4 otrzymujemy ostatecznie x = 2. Długości przekątnych podstawy wynoszą zatem 2 cm i 4 cm, a wysokość graniastosłupa jest równa 8 cm. Ponieważ w rombie przekątne dzielą się na połowy i przecinają się pod kątem prostym, więc powstają 4 trójkąty prostokątne.
a² = 1² + 2², czyli a = √5 [cm]
Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy wynosi √5 cm.
Pytanie z podręcznika
Dwa krany ze ściany wystawały i wodą wypełniały pojemniki o kształtach jak na rysunku. Z kranu pierwszego 1 litr wody wyciekał w ciągu sekundy. Z kranu drugiego znów litr wody wypływał w ciągu sekund dwóch.
Który z pojemników napełnił się wodą wcześniej, jeśli krany odkręcono jednocześnie?
Rozwiązanie:
Wyliczymy objętości naczyń i czasy, w których zostały napełnione wodą:
Skoro z kranu pierwszego litr wody wyciekał w ciągu sekundy, to naczynie napełniło się w ciągu 2250 sekund.
W przypadku drugiego naczynia litr wody wypływał w ciągu sekund dwóch, czyli naczynie napełniło się w ciągu 4000 sekund.
Odpowiedź: Wcześniej napełnił się wodą pojemnik pierwszy.
키워드에 대한 정보 zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy
다음은 Bing에서 zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy 주제에 대한 검색 결과입니다. 필요한 경우 더 읽을 수 있습니다.
이 기사는 인터넷의 다양한 출처에서 편집되었습니다. 이 기사가 유용했기를 바랍니다. 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오. 매우 감사합니다!
사람들이 주제에 대해 자주 검색하는 키워드 Zadania maturalne z graniastosłupów
- pole granistosłupa
- objętość graniastosłupa
- zadania z graniastosłupów
- graniastosłupy na maturze
- zadania maturalne z brył
- kąty nachylenia w granistosłupach
- zadania maturalne z granistosłupów
- matematyka online
- korepetycje z matematyki
Zadania #maturalne #z #graniastosłupów
YouTube에서 zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy 주제의 다른 동영상 보기
주제에 대한 기사를 시청해 주셔서 감사합니다 Zadania maturalne z graniastosłupów | zadania maturalne graniastosłupy i ostrosłupy, 이 기사가 유용하다고 생각되면 공유하십시오, 매우 감사합니다.
