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다각형의 넓이] 사다리꼴의 넓이 [(윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2] 왜? : 네이버 블로그
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사다리꼴 넓이 구하는 공식을 까먹는 경우가 많습니다.
하지만 사다리꼴 넓이 문제가 나왔을 때, 공식을 스스로 유도해내거나 혹은 융통성 있게 푸는 방법 8가지에 대해서 알려드리도록 하겠습니다.
시중에 이렇게까지 사다리꼴 넓이에 공을 들이는 영상은 거의 없다고 생각하기에, 정말 열심히 촬영했습니다.
앞으로 사다리꼴 넓이 때문에 고민하는 일은 없자구요!ㅎㅎ
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사다리꼴 넓이 구하는 공식 – tiptop
기본적인 사다리꼴 넓이 구하는 공식은 윗변과 아랫변을 더하고 높이를 곱한 다음 2로 나누어 주면 됩니다. [(a+b)*c]/2 를 하게되면 쉽게 구할 수 …
Source: deleger.tistory.com
Date Published: 2/1/2022
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- Author: 찰쌤
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- Date Published: 2020. 10. 17.
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[5-1][5. 다각형의 넓이] 사다리꼴의 넓이 [(윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2] 왜?
[5-1][5. 다각형의 넓이] 사다리꼴의 넓이 [(윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2] 왜?5학년 1학기 ‘5. 다각형의 넓이’ 단원은 위기이자 기회 이기도 한 단원입니다.
어렵게만 느껴질 수도 있고요. 문제 해결력 훈련을 제대로 할 수도 있습니다.
역시나 ‘ 제대로 학습 ‘이 중요한데요.
도형 종류별 넓이 공식을 단순 무식하게 암기하지 말고요.
왜 그런 공식 이 나왔는지 이해 하고, 공식 을 유도 하는 과정을 경험하는 것부터 시작해야죠. ^.^
1. 이전 글부터 차근 차근 읽어야 해요!
이 단원은 (특히) 앞에서부터 차근 차근 학습해야 합니다.
아래 글들부터 순서대로 읽어 보세요~ ^.^
[5-1][5. 다각형의 넓이] 옛날처럼 공식 암기하고 까먹을까? 이해하고 기억할까? (직사각형의 넓이)http://cafe.naver.com/hgsproject/17692
[5-1][5. 다각형의 넓이] 왜 ‘가로 X 세로 X 1/2’일까? (삼각형의 넓이)http://cafe.naver.com/hgsproject/17714
[5-1][5. 다각형의 넓이] 직사각형은 ‘가로X세로’! 평행사변형은 ‘밑변X높이’! 왜 다를까? (평행사변형의 넓이)http://cafe.naver.com/hgsproject/17717
2. 사다리꼴의 넓이 구하기
사다리꼴이 무엇인지 혹시 가물가물하면 아래 글도 다시 읽어 보세요. ^^!
[4-2][3. 다각형] 사다리꼴이란? 평행사변형이란? (본격적인 도형 학습의 시작!)http://cafe.naver.com/hgsproject/1324
평행한 변이 있는 사각형, 즉 마주 보는 한 쌍의 변이 서로 평행한 사각형 을 사다리꼴 이라고 합니다. 예를 들면 이런 도형이죠~
사다리꼴의 넓이를 구하는 공식은 다음과 같습니다.
사다리꼴의 넓이 = (윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2
공식은 공식이고… 우리는 제대로 학습해야죠~ ^.^
넓이를 구하려면 ‘1cm² (1 제곱센티미터) ‘ 가 몇 개 들어가는지 알아봐야 하는데요.
이렇게 하는 방법부터 생각나겠죠?
사다리꼴에서 직사각형 부분과 삼각형 부분을 나눠서 생각하는 거에요.
노란색 직사각형 넓이를 따로 구하고요. 거기에 하늘색 직사각형 넓이의 절반(1/2)을 더하는 방법~
물론 가능한 방법인데요. 더 좋은 방법도 있습니다.
똑같은 사다리꼴의 위아래를 뒤집어서 옆에 붙이는 거에요. 이렇게요~ ^.^
이렇게 하면 직사각형이네요~ 직사각형은 넓이 구하는 게 쉽잖아요.
직사각형으로 만들었다면 가로와 세로 길이를 알아야 하는데요.
오른쪽에 붙인 하늘색 사다리꼴은 원래 사다리꼴을 위아래 뒤집은 거니까 이렇게 되겠네요. ^.^
이제 넓이를 구해 볼까요~
– 직사각형의 가로 : 2cm(윗변) + 3cm(아랫변)
– 직사각형의 세로 : 3cm(높이)
– 사다리꼴의 넓이 : 직사각형 넓이의 절반 ⇒ ÷ 2 하기
먼저 윗변과 아랫변을 더해야 하고요. ⇒ 윗변 + 아랫변
거기에 높이를 곱하고요. ⇒ ( 윗변 + 아랫변) × 높이
여기까지 구하면 사다리꼴 2개의 넓이죠. 절반이 사다리꼴 하나의 넓이니까 2로 나눠 주면 끝
⇒ ( 윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2
3. 다른 모양의 사다리꼴로 한번 더 확인하기
이런 모양의 사다리꼴로 공식을 확인해볼까요? ^.^
똑같은 사다리꼴의 위아래를 뒤집어서 옆에 붙이고요.
왼쪽 삼각형부분만 떼어서 오른쪽에 갖다 붙이면 직사각형이 됩니다.
위 직사각형에서 가로 는 ‘윗변 + 아랫변’ 이고요.
세로 는 ‘높이’ 입니다.
그리고 절반이 사다리꼴 하나의 넓이니까 2로 나눠 줘야죠.
식으로 정리하면~
사다리꼴 1개의 넓이 = (윗변 + 아랫변) × 높이 ÷ 2
다른 모양의 사다리꼴도 같은 방법으로 넓이를 구할 수 있답니다.
이제 사다리꼴 넓이 구하는 공식이 어떻게 나온 건지 이해할 수 있죠?
무조건 공식 암기하는 건 옛날 방식이고요.
좋지 않은 방법이랍니다.
[닥터 Y] 사다리꼴의 넓이를 구하는 5가지 방법
닥터 Y의 수학 해결소 – 사다리꼴의 넓이를 구하는 5가지 방법
닥터y : 나는 천재 수학자 닥터y! 수학 해결소를 운영하고 있지. 의뢰는 언제나 환영입니다!
학생 : 사다리꼴의 넓이는 어떻게 구해요?
닥터y : 사다리꼴의 넓이는 {(윗변)+(아랫변)}×(높이) ÷ 2로 구할 수 있죠.
학생 : 그냥 외우라는 말인가요? 왜 그렇게 되는지도 설명해 주셔야죠.
닥터y : 안 그래도 이제 막 설명을 하려고 했는데… 이렇게 사다리꼴 두 개를 합쳐서 평행사변형을 만든 다음 평행사변형의 넓이를 2로 나누면~ 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있겠죠? 평행사변형의 밑변의 길이는 사다리꼴의 윗변과 아랫변을 더하면 구할 수 있고, 높이는 사다리꼴의 높이와 같아요. 즉, 윗변과 아랫변을 더한 다음 높이를 곱하고 2로 나누면 사다리꼴의 넓이를 구할 수 있어요.
학생 : 그렇구나. 그런데 사다리꼴의 넓이를 구하는 방법은 이거 하나밖에 없는 거예요?
닥터y : 당연히~ 아니죠!! 사다리꼴의 넓이는 사다리꼴보다 먼저 배우는 평행사변형과 삼각형의 넓이를 이용해 다양하게 나타낼 수 있어요.
학생 : 진짜요? 어떻게요?
닥터y : 그림으로 설명해 드릴게요. (1) 사다리꼴을 직사각형과 삼각형으로 나누어 구하는 방법 (2) 평행사변형과 삼각형으로 나누어 구하는 방법 (3) 삼각형 두 개로 나누어 구하는 방법
(4) 평행사변형에서 삼각형의 넓이를 빼는 방법 (5) 큰 삼각형에서 작은 삼각형의 넓이를 빼는 방법
닥터y : 자~ 어때요?
학생 : 우와~ 정말 다양한 방법들이 있네요. 하나하나 다 해봐야겠어요.
닥터y : 다음에 또 궁금한 것이 있다면 언제든 닥터y를 찾아주세요.
학생 : 네! 감사합니다. 안녕히 계세요~~
닥터y : 우리가 모른다고 생각했던 것들, 그저 모른다고만 생각하고 넘기는 것이 아니라 우리가 아는 범위 안에서 고민하고 노력하면 충분히 아는 것으로 바꿀 수 있어요.
사다리꼴 넓이 구하는 법
사다리꼴은 한 쌍의 변이 서로 평행인 사각형이며, 이때 평행을 이루는 두 변의 길이는 다릅니다. 사다리꼴의 넓이를 구하는 공식은 A = ½(b 1 +b 2 )h이며 b 1 과 b 2 는 두 밑변의 길이 그리고 h는 높이를 뜻합니다. 정사다리꼴의 네 변의 길이를 알고 있을 경우 사다리꼴을 간단한 도형 여러 개로 나눠서 높이를 구한 후 넓이를 계산하면 됩니다. 계산을 끝낸 후 단위를 같이 적으세요!
사다리꼴 넓이 구하는 공식 알아보기
사다리꼴이 어떤것인지 아시죠? 사다리처럼 생긴 사각형을 의미합니다. 정사각형이나 직사각형과는 다르게 윗변과 아랫변의 길이가 다릅니다. 그러다보니 일반 사각형 넓이를 구하는 공식으로는 사다리꼴의 넓이를 구할 수 없죠. 사다리꼴 넓이 구하는 공식이 어떻게 되는지 알려드릴건데요. 사다리꼴 넓이 구하는 방법이 궁금하시면 아래를 확인해보세요.
사다리꼴은 위와 같이 생겼습니다. 윗변이 더 길수도 있고 아랫변이 더 길수도 있습니다. 사다리꼴의 넓이는 밑변과 윗변을 더한 후에 높이를 구합니다. 그리고 나누기 2를 해주시면 되는건데요. 공식으로 보자면 이렇습니다.
(윗변 + 밑변) * 높이 / 2
그러면 직접 위에 있는 사다리꼴의 넓이를 구해보실까요? 윗변과 밑변, 높이가 있으니 다들 쉽게 넓이를 구할 수 있겠죠?
사다리꼴 넓이 공식 및 증명
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이번 글에서는 사다리꼴 사각형의 넓이를 구하는 법을 알아보겠다.
공식
아래와 같은 사다리꼴을 예로 들어보자.
윗 변의 길이가 a, 밑 변의 길이가 b, 높이가 h인 사다리꼴이 있을 때 사다리꼴의 넓이를 구하는 공식은
굳이 알파벳을 써가며 공식으로 쓰면 이렇게 표현되지만 그냥 간단하게 말하면 윗 변과 밑 변을 더한 값에 높이를 곱한 후 나누기 2를 하면 되는 것이다. 왜 이렇게 계산하면 넓이가 나오는 것일까?
유도 및 증명
사다리꼴에 아래와 같이 대각선을 그어보자.
점선을 기점으로 밑 변이 a, 높이가 h인 삼각형과 밑 변이 b, 높이가 h인 삼각형 2개가 만들어진다.
각각의 넓이를 S₁, S₂라고 한다면 각각의 삼각형 넓이는
이 삼각형 2개의 넓이의 합이 사다리꼴의 넓이가 되므로 합하면
이와 같은 공식이 만들어진다.
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사각형의 넓이 공식 – 삼각비의 활용
이제는 삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구하는 방법을 알아볼 거예요
평행사변형의 넓이는 (밑변) × (높이)에요. 여기서는 밑변의 길이와 높이를 알져주지 않고 다른 조건들을 알려준 평행사변형의 넓이를 구하는 걸 해볼 거예요. 물론 삼각비를 이용해서요.
삼각비를 이용해서 사각형의 넓이를 구할 때는 평행사변형의 성질을 이용합니다. 따라서 2학년 때 공부했던 평행사변형의 성질, 평행사변형과 넓이에 대해서 미리 읽어보세요.
사각형의 넓이는 삼각형의 넓이 공식 유도 방법과 비슷하니까 하나만 잘 해놓으면 두 개를 다 이해할 수 있어요.
평행사변형의 넓이
평행사변형의 넓이를 구할 때는 두 변의 길이와 그 끼인각의 크기를 알려줍니다. 삼각형의 넓이를 구할 때도 이 두 가지를 알려줬었죠?
높이를 구하여 평행사변형의 넓이 구하기
삼각형의 넓이를 구할 때 크기를 알려준 한 각과 길이를 알려준 한 변이 하나의 직각삼각형에 포함되도록 수선을 내린다고 했어요. 여기서도 마찬가지로 수선을 내려요. 점 A에서 변 BC에 수선을 내렸다고 해볼게요.
평행사변형 ABCD의 높이는 △ABH의 높이 즉, 와 같아요. 는△ABH에서 삼각비를 이용해서 구할 수 있죠.
평행사변형의 높이를 알아냈으니 넓이를 구할 수 있겠죠?
그런데 ∠B가 아니라 ∠A를 가르쳐줬다면 어떻게 할까요? ∠A는 둔각이에요. 둔각의 삼각비는 모르니까 예각으로 바꿔야겠죠? 2학년 때 공부한 건데, 평행사변형의 성질에서 이웃하는 두 내각의 합은 180°라는 성질을 이용해요. 이 성질을 이용하면 ∠B = 180° – ∠A가 되니까 예각인 ∠B를 알 수 있어요.
평행사변형의 대변은 길이가 같으니까 중 두 변의 길이를 고르고, 예각인 B를 끼인각으로 하면 평행사변형의 넓이를 구할 수 있어요.
두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이
삼각형의 넓이를 이용하여 평행사변형의 넓이 구하기
높이를 구하지 않고 다른 방법으로 평행사변형의 넓이를 구해볼까요?
평행사변형에 대각선을 그어보세요. 삼각형 두 개로 나누어져요. 평행사변형과 넓이에서 대각선으로 나누어진 두 삼각형은 넓이가 같다는 걸 공부했어요. 그러니까 삼각형의 넓이를 구해서 두 배 해주면 되겠죠?
삼각비의 활용 – 삼각형의 넓이에서 두 변의 길이가 a, b이고 끼인각의 크기가 x°인 삼각형의 넓이는 라고 했지요? x°가 둔각일 때는 였고요.
똑같은 삼각형이 두 개 있으니까 두 배 해주면 돼요.
두 변의 길이가 a, b이고 그 끼인각의 크기가 x°인 평행사변형의 넓이
결국, 어떤 방법을 이용하던 결과는 같아요. 평행사변형의 넓이 공식은 삼각형의 넓이 공식에 2를 곱해주면 됩니다.
다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, ∠A = 120°일 때 평행사변형 ABCD의 넓이를 구하여라.
두 변의 길이와 한 각의 크기를 알려줬는데, 그 각이 둔각이에요. 둔각일 때는 180°에서 빼서 예각을 만들어서 사용하면 돼요.
사각형의 넓이
이번에는 평행사변형이 아니라 그냥 막 생긴 사각형의 넓이에요. 여기서는 어떤 조건을 알려 주냐면 두 대각선의 길이와 대각선의 교각의 크기를 알려줘요.
이 사각형의 넓이를 구할 때는 그냥 구할 수 없어요. 우리가 알고 있는 사각형으로 변신을 시켜야 해요. 어떤 사각형이냐면 바로 위에서 했던 평행사변형으로 변신시키는 거죠.
위 사각형에서 대각선 와 평행하고 점 A를 지나는 평행선을 그어요. 또, 와 평행하고 점 C를 지나는 평행선도 긋고요. 이번에는 와 평행하고, 점 B를 지나는 평행선과 점 D를 지나는 평행선을 그어요.
총 네 개의 평행선을 긋는데, 이 평행선들이 만나서 사각형이 생기죠? 이 사각형을 □EFGH라고 할게요. 이 □EFGH은 와 에 평행한 선들로 이루어졌죠? 따라서 에요. 평행사변형이라는 얘기죠.
□AEFC는 평행사변형 →
□HEBD도 평행사변형 →
그 속의 작은 사각형들도 모두 평행사변형 → ∠AEB = x°
작은 평행사변형 네 개가 생기는데, 모두 대각선으로 나누어져 있죠? 각각의 작은 평행사변형을 둘로 나눈 삼각형 네 개를 붙여놓은 게 처음에 넓이를 구하려고 했던 □ABCD에요. 작은 삼각형은 작은 평행사변형의 넓이의 절반이므로(평행사변형과 넓이) □ABCD의 넓이는 □EFGH의 넓이의 절반인 걸 알 수 있어요.
□EFGH는 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알고 있으니까 공식으로 구할 수 있고, 이걸 2로 나눈 게 □ABCD의 넓이에요.
여기서도 마찬가지로 두 대각선의 교각이 둔각이면 180° – x°를 해서 예각을 만들어야 해요.
두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°인 사각형의 넓이
다음 그림에서 a = 4cm, b = 6cm, x° = 60°일 때 □ABCD의 넓이를 구하여라.
두 대각선의 길이와 교각의 크기를 알려줬어요. 이 교각이 예각이죠. 따라서 공식에 대입해보면
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사각형의 넓이: 두 대각선의 길이가 a, b이고 교각의 크기가 x°일 때
그리드형(광고전용)
사다리꼴 넓이 구하는 공식
수학을 배우게 되면 복잡한 공식을 암기하게 됩니다. 하지만 무작정 외우려고 하면 금방 잊어버리는 것은 누구나 똑같은데요. 사다리꼴 넓이 구하는 공식을 쉽게 이해하여 오래도록 기억해봅시다.
공예품을 만들거나 어떤 물건을 직접 만드는 DIY제품이 큰 인기를 끌고 있습니다. 손수 만드는 것은 성취감과 자신만이 가지고 있는 하나의 특별한 물건이 될 수 있는데요. 모양이 사다리꼴이라면 넓이 구하는 공식을 이용해서 미리 크기를 알아볼 수 있습니다.
사각형이 가장 만들기 쉽고 넓이도 구하기 쉬운데요. 삼각형이나 원이 들어가면서 조금씩 어려워집니다. 하지만 한번 기억해두면 평생 생활하면서 이용해볼수 있는 방법이기도 합니다.
그럼 사다리꼴이 무엇인지 정의부터 알아보겠습니다. 사각형은 기본적으로 네개의 각을 만들고 있는 네 선분이 만나는 도형인데요. 사다리꼴을 여기에 한가지 규칙이 추가됩니다. 바로 서로 마주보고 있는 변 중 하나가 평행을 해야하는 규칙을 가지고 있습니다. 그래서 직사각형, 평행사변형, 정사각형, 마름모 등은 사다리꼴이 될 수 있습니다.
기본적인 사다리꼴 넓이 구하는 공식은 윗변과 아랫변을 더하고 높이를 곱한 다음 2로 나누어 주면 됩니다. [(a+b)*c]/2 를 하게되면 쉽게 구할 수 있습니다. 그럼 어떻게 이런 규칙이 나오는지 사다리꼴을 잘라서 구해보시면 됩니다.
사각형과 삼각형의 넓이를 구하는 공식이 사용되는데요. 가장 큰 사각형의 넓이인 a*c와 양쪽의 삼각형 c*d/2, e*c/2를 하신다음 더해주면 우리가 구하려는 사다리꼴 넓이 구하는 공식과 같은 결과가 나오게 됩니다.
윗변이 더 길거나 짧은 경우가 있을 수 있지만 사다리꼴 넓이 구하는 공식은 동일합니다. 평행인 두 선분의 길이를 더해준 후 높이를 곱하고 반으로 나눠주는 것이 핵심입니다. 그럼 실생활에서 재미있게 이용해 볼 수 있는 공식을 외워보시면서 열심히 공부해보세요.
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