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표본(sample) 피어슨 상관 계수는 등간척도(간격척도)나 비례척도(비율척도)의 데이타에서 두 변수의 공분산(covariance) 을 각각의 표준 편차의 곱으로 나눈 값이다.
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공분산, 상관계수의 유도, 피어슨 상관계수(표본상관계수)
04:50 공분산
10:48 상관계수
12:23 표본상관계수(피어슨 상관계수)
14:06 상관계수의 범위
18:27 상관계수의 한계
19:40 아이스크림이 살인을 조장하는가
21:59 총기소유와 총기살인의 관계
23:02 사회의 불평등과 행복의 관계
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주제에 대한 기사 평가 피어슨 상관계수 공식
- Author: 이기훈
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- Date Published: 2020. 6. 22.
- Video Url link: https://www.youtube.com/watch?v=RymrCV3K5J8
피어슨 상관 계수
통계학에서 , 피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient ,PCC)란 두 변수 X 와 Y 간의 선형 상관 관계를 계량화한 수치다. 피어슨 상관 계수는 코시-슈바르츠 부등식에 의해 +1과 -1 사이의 값을 가지며, +1은 완벽한 양의 선형 상관 관계, 0은 선형 상관 관계 없음, -1은 완벽한 음의 선형 상관 관계를 의미한다. 일반적으로 상관관계는 피어슨 상관관계를 의미하는 상관계수이다.
서로 다른 상관 계수 값 (ρ)을 갖는 산포도 다이어그램의 예
x 와 y 의 상관 계수. 상관 관계는 선형 관계의 비선형성 및 방향을 반영하지만 그 관계의 기울기 또는 비선형 관계의 여러 측면을 반영하지 않는다. NB : 중앙의 그림은 기울기가 0이지만이 경우 Y 의 분산이 0이므로 상관 계수가 정의되지 않는다. 여러 데이터셋와 각 셋의의 상관 계수. 상관 관계는 선형 관계의 비선형성 및 방향을 반영하지만 그 관계의 기울기 또는 비선형 관계의 여러 측면을 반영하지 않는다. NB : 중앙의 그림은 기울기가 0이지만이 경우의 분산이 0이므로 상관 계수가 정의되지 않는다.
정의 [ 편집 ]
표본(sample) 피어슨 상관 계수는 등간척도(간격척도)나 비례척도(비율척도)의 데이타에서 두 변수의 공분산(covariance) 을 각각의 표준 편차의 곱으로 나눈 값이다.
피 어 슨 상 관 계 수 = 공 분 산 표 준 편 차 ⋅ 표 준 편 차 {\displaystyle {\text{피 어 슨 상 관 계 수 }}={{\text{공 분 산 }} \over {{\text{표 준 편 차 }}\cdot {\text{표 준 편 차 }}}}} r X Y = ∑ i n ( X i − X ¯ ) ( Y i − Y ¯ ) n − 1 ∑ i n ( X i − X ¯ ) 2 n − 1 ∑ i n ( Y i − Y ¯ ) 2 n − 1 {\displaystyle r_{XY}={{{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)} \over {n-1}} \over {{\sqrt {{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}} \over {n-1}}}{\sqrt {{\sum _{i}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}} \over {n-1}}}}}}
따라서
r X Y = ∑ i n ( X i − X ¯ ) ( Y i − Y ¯ ) ∑ i n ( X i − X ¯ ) 2 ∑ i n ( Y i − Y ¯ ) 2 {\displaystyle r_{XY}={{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)} \over {{\sqrt {\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}}}}}
모집단의 경우 [ 편집 ]
피어슨의 상관 계수는 모집단에 적용될 때 일반적으로 ρ (그리스문자,로)로 표시되며 모집단 상관 계수 또는 모집단 피어슨 상관 계수라고 할 수 있다.
결정계수 [ 편집 ]
피어슨의 상관 계수를 제곱해줌으로써 결정계수를 얻을수있다.
표본 피어슨의 상관 계수 r {\displaystyle r} r 2 {\displaystyle r^{2}} 모집단 피어슨의 상관 계수 ρ {\displaystyle \rho } ρ 2 {\displaystyle \rho ^{2}}
컴퓨팅 계산 [ 편집 ]
컴퓨팅 프로그램에서 일반적인 상관관계 분석 함수로서 피어슨 상관계수가 사용되며 스프레드 시트에서는 Correl()함수를 사용할 수 있다.[1] SPSS 및 PSPP에서는 이변량 상관분석(bivariate analysis 또는 bivariate correlation analysis)등에서 보편적으로 이용된다.
같이 보기 [ 편집 ]
피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient)
$\bullet$ (피어슨)상관 계수는 두 변수가 서로 (선형)상관관계를 가지는지 확인하는 척도이다.
$\bullet$ 1이나 -1에 가까우면 상관관계가 있다 보고 0이면 없다고 본다.
$\bullet$ $[-1,1]$을 벗어나지 않는다.
다음과 같이 정의된 $\rho = \rho (X,Y)$ 를 피어스 상관계수(pearson correlation coefficient)라고 한다.
$$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y},\;\;\;\;\; -1 \leq \rho \leq 1$$
$Cov(X,Y)$를 $X$와 $Y$의 공분산(covariance)라 한다.
$Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E(XY)-\mu_X \mu_Y$
$E(XY) = \mu_X \mu_Y + \rho \sigma_X \sigma_Y$
$X$와 $Y$가 독립이면 상관계수는 0이된다.
하지만 상관계수가 0이라고 $X$와 $Y$가 독립인것은 아니다.
$\rho$를 정의한 식에 대해 알아보자
$\mu_X = E(X),\;\; =\mu_Y=E(Y),\;\;\; \sigma_X^2=E[(X-\mu_X)^2],\;\;\;\sigma_Y^2=E[(Y-\mu_Y)^2]$
(a) $u(X,Y) = (X-\mu_X)(Y-\mu_Y)$ 라 두면
$$E[u(X,Y)]=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=\sigma_{XY}=Cov(X,Y)$$
를 $X$와 $Y$의 공분산(covariance)라 한다.
(b) 표준편차 $\sigma_X, \sigma_Y>0$이라면
$$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}$$
를 $X$와 $Y$의 상관계수라 한다.
$X$의 평균(mean)과 분산(variance)는 결합 pmf(or pdf) 혹은 주변 pmf(or pdf)를 이용해서 푼다.
ex) 이산형의 경우
$$\begin{align*}
\mu_X = E(X) & = \sum_X \sum_Y x f(x,y)\\
&=\sum_x x \left[ \sum_y f(x,y) \right] = \sum_x x f_X(x)
\end{align*}$$
공분산(Covariance)의 계산에는 joint pmf(or pdf)가 필요하다
공분산 $E[u(x,y)]$와 상관계수 $\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$의 의미를 살펴보기전 2가지 유용한 식을 유도한다.
1)
$$\begin{align*}
Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]&=E(XY – \mu_X Y -\mu_Y X + \mu_X \mu_Y)\\
&=E(XY)-\mu_XE(Y)-\mu_YE(X)+\mu_X \mu_Y\\
&=E(XY) – \mu_X \mu_Y – \mu_X \mu_Y + \mu_X \mu_Y \\
&= E(XY) – \mu_X \mu_Y
\end{align*}$$
2)
$$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \dfrac{E(XY) – \mu_X \mu_Y}{\sigma_X \sigma_Y}$$
$$E(XY) = \mu_X \mu_Y + \rho \sigma_X \sigma_Y$$
즉, 두 확률변수의 곱의 기댓값은 각 확률변수들의 평균(mean)과 편차(deviation)를 통해서 구할 수 있다.
예제 4.2-1 펼치기 예제 4.2-1 접기 예제 4.2-1 접기
두 확률변수 $X$와 $Y$의 상관계수(Correlation Coefficient)$\rho$에 대해 알아보자.
1) $\rho$의 부호
$$\rho = \dfrac{\sum_X\sum_Y(x-\mu_X)(y-\mu_Y)f(x,y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$
$\bullet$ 분모는 항상 양수이다.
$\bullet$ $0 \leq f(x,y)\leq 1$ 이다.
$\therefore$ $\rho$의 부호를 결정하는 것은 $x$와 $y$, $\mu_X$, $\mu_Y$이다.
$\rho>0$ $\rho <0$ $\rho=0$ $x$가 $\mu_X$보다 크고 $y$가 $\mu_Y$보다 큰 혹은 $x$가 $\mu_X$보다 작고 $y$가 $\mu_Y$보다 작은 $(x,y)$쌍이 아주 많을 경우 $x$가 $\mu_X$보다 크고 $y$가 $\mu_Y$보다 작은 혹은 $x$가 $\mu_X$보다 작고 $y$가 $\mu_Y$보다 큰 $(x,y)$쌍이 아주 많을 경우 모든 $(x,y)$쌍에 대해 $x= \mu_X$그리고 $y=\mu_Y$일 경우 혹은 모든 항의 합이 0이 될 경우 2) $-1 \leq \rho \leq 1$ 우선 임의의 $(x,y)$쌍들을 그래프 위에 그려보겠다. 수많은 점들의 분포를 일반식으로 간단하게 표현할수는 없다 그렇기에 모든 점들을 근사적으로 표현할 수 있는 직선방정식을 찾도록 한다. 이 방정식을 만드는 기준은 i) $(\mu_X \mu_Y)$를 지난다. ii) 모든 점으로부터의 거리의 평균값이 최소가 되는 기울기 $b$를 가진다. 위 조건을 만족하는 직선 방정식을 적으면 $y=\mu_Y + b(x-\mu_X)$ 이제 ii) 조건에 맞는 $b$를 구하면 된다. 임의의 점 $(x_0,y_0)$에서 직선 방정식 까지의 거리는 $|y_0 - \mu_Y - b(x_0 - \mu_X)|$이다. 이 거리를 제곱한 값들의 평균을 취한 식을 $K(b)$로 지칭한다. $$E\{[(Y - \mu_Y)-b(X - \mu_X)]^2\}=k(b)$$ 최소제곱원리로 $K(b)$를 최소로 하는 $b$값을 찾는다. $$\begin{align*} K(b) &=E[(Y-\mu_Y)^2-2b(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)+b^2(X-\mu_X)^2]\\ &=\sigma_Y^2 - 2b \rho \sigma_X \sigma_Y + b^2 \sigma_X^2 \end{align*}$$ 를 $b$로 편미분하여 $0$으로 놓고 $b$를 구한다 $$K'(b) = -2 \rho \sigma_X \sigma_Y + 2b \sigma_X^2=0\\ b = \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}$$ $K(b)$는 최고차항의 계수가 양수인 $b$에 관한 2차식인데다가 $K''(b) = 2\sigma_X^2 > 0$이므로 위의 $b$는 $K(b)$를 최소로 만드는 식임을 알 수 있다.
따라서 최량 적합 직선(the line of best fit)의 형태인 최소 제곱 회귀 직선(least squares regression line)은
$Y = \mu_Y = \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X – \mu_X)$
가 된다.
여기서 $\rho$의 값에 따라 기울기가 결정된다.
또한 $K(b)$는 제곱의 기댓값이므로 모든 $b$에 대해서 음수가 아니어야 한다. 따라서 최소값도 양수이므로
$$\begin{align*}
K \left( \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} \right) &= \sigma_Y^2 – 2\rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho \sigma_X \sigma_Y + \left( \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)^2 \sigma_X^2\\
&=\sigma_Y^2 -2\rho^2\sigma_Y^2 + \rho^2 \sigma_Y^2 = \sigma_Y^2(1 – \rho^2) \geq 0
\end{align*} $$
그러므로 $-1 \leq \rho \leq 1$이 된다.
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$X$와 $Y$가 독립이면 상관계수는 0이된다.
하지만 상관계수가 0이라고 $X$와 $Y$가 독립인것은 아니다.
아래 예로 확인해보자
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피어슨 상관 계수 (Pearson Correlation Coefficient)
상관계수(correlation coefficient)란 두 변수가 어떤 상관 관계를 가지는가?를 의미하는 수치다.
+1은 완벽한 양의 선형 상관 관계, 0은 선형 상관 관계 없음, -1은 완벽한 음의 선형 상관 관계를 의미한다.
https://otexts.com/fppkr/graphics-scatterplots.html
X와 Y 사이의 피어슨 상관 계수를 구하는 식은 다음과 같다
\\[r_{XY} = \frac{ \sum^n_i (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) }{ \sqrt{\sum^n_i (X_i – \bar{X})^2} \sqrt{\sum^n_i (Y_i – \bar{Y})^2} } \\]
여기서 X, Y는 vector인데
식을 조금 들여다보면 결국 다음과 같은 과정이다.
1. 각 vector의 표본평균\\(\bar{A}\\)를 구해서 A의 0이 아닌 각 원소에 빼주어 normalization하고,
2. normalized 된 vector들 사이의 cosine similarity를 계산한다.
피어슨 상관 계수는 다양한 상황에서 쓰이지만,
normalized된 cosine similarity를 계산하는 것이기 때문에 피어슨 상관 계수를 similarity로도 해석할 수 있다.
피어슨 상관 계수가 similarity로 쓰이는 예로는 추천 시스템이 있다.
추천 시스템에서 collaborative filtering 방식을 사용할 때는 User-user 간, 또는 Item-item 간 similarity를 계산해야 한다.
이 때 피어슨 상관 계수를 similarity로 사용하게 된다.
유저 A와 비슷하게 영화를 평가한 유저를 찾기 위해서 user A와 나머지 유저들의 similarity를 계산하려고 한다.
movie 1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 user A 4 5 1 user B 5 5 4 …
( 평가하지 않은 항목은 0으로 집계되기 때문에 cosine similarity를 사용하게 되면 미평가 항목이 곧 안좋게 평가한 항목과 동일하게 간주된다는 문제가 있어 피어슨 상관 계수를 사용한다.)
피어슨 상관 계수를 계산해보면
\\(\bar{A} = \frac{4+5+1}{3} = \frac{10}{3} \\) \\(\bar{B} = \frac{14}{3} \\)
\\(A – \bar{A} = [\frac{2}{3}, 0, 0, \frac{5}{3}, -\frac{7}{3}, 0, 0]\\)
\\(B – \bar{B} = [\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, 0, 0, 0, 0]\\)
이제 이 둘의 cosine similarity를 계산하면 피어슨 상관 계수가 되고, 이는 곧 sim(A, B)가 된다.
\\(sim(A, B) = 0.092\\)
상관계수를 구할 때 주의할 점
상관계수(correlation coefficient)는 선형관계의 강도만 측정하기에, 종종 오해로 이어질 수 있습니다.
아래 그래프는 모두 0.82의 상관계수를 갖습니다만, 나타나는 관계는 아주 다릅니다. 이를 통해 상관계수값에만 의존하지 말고 데이터를 그려서 살펴보는 것이 얼마나 중요한지 알 수 있습니다.
https://otexts.com/fppkr/graphics-scatterplots.html
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정의[편집]
모집단의 경우[편집]
결정계수[편집]
컴퓨팅 계산[편집]
같이 보기[편집]
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SPSS 피어슨 상관 계수 Pearson Correlation Coefficient, PCC : 네이버 블로그
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Summary of article content: Articles about SPSS 피어슨 상관 계수 Pearson Correlation Coefficient, PCC : 네이버 블로그 피어슨 상관계수 계산해서 표로 만들어드립니다. 통계논문 도와드립니다. . 서울대 학사/석사. 미국 주립대 박사. . …
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Pearson 상관 계수를 계산하는 방법
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Most searched keywords: Whether you are looking for Pearson 상관 계수를 계산하는 방법 Pearson Correlation Coefficient (Pearson Product-Moment Correlation Coefficient)는 1900 년대 초 Karl Pearson에 의해 설정되었습니다. Pearson Correlation Coefficient (Pearson Product-Moment Correlation Coefficient)는 1900 년대 초 Karl Pearson에 의해 설정되었습니다. 사물이 서로 얼마나 밀접하게 관련되어 있는지, 그리고 관계가 어떤 방향으로 가고 있는지 알려줍니다! 공식은 다음과 같습니다. r = Σ (X-Mx) (Y-My) / (N-1) SxSy [1] 엑스 연구 출처
단순화하고 싶습니까? 우리의 가설은 초콜릿의 소비가 증가함에 따라 개인의 행복도도 1 (불행)에서 7 (행복)까지의 척도로 증가한다는 것입니다. 초콜렛을 먹으면 더 행복 해지는 건 다들 아시죠? 시작하기 전에 두 변수 (X 및 Y)를 식별하십시오. 한 사람이 하루에 먹는 초콜릿의 수 (X)와 그들의 행복 수준 (Y)에 대한 정보가 있다고 가정 해 보겠습니다.
단순화하고 싶습니까? 우리의 가설은 초콜릿의 소비가 증가함에 따라 개인의 행복도도 1 (불행)에서 7 (행복)까지의 척도로 증가한다는 것입니다. 초콜렛을 먹으면 더 행복 해지는 건 다들 아시죠? 시작하기 전에 두 변수 (X 및 Y)를 식별하십시오. 한 사람이 하루에 먹는 초콜릿의 수 (X)와 그들의 행복 수준 (Y)에 대한 정보가 있다고 가정 해 보겠습니다. Table of Contents:
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[내가 하는 통계 분석] 피어슨 상관 계수(Pearson correlation coefficient) in SPSSArticle author: lunch-box.tistory.com
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Most searched keywords: Whether you are looking for [내가 하는 통계 분석] 피어슨 상관 계수(Pearson correlation coefficient) in SPSS 대응별 결측값 제외는 상관 계수를 계산하는 두 변수에 대해 결측값이 없는 케이스만 사용합니다. 따라서, 목록별 결측값으로 하면 모든 경우에 대해서 N … 안녕하세요, 산격동 너구리입니다. 이번 포스팅은, SPSS를 이용한 “피어슨 상관 계수”입니다. 개요 피어슨 상관 계수란?? 두 변수의 선형 상관 관계를 계량화한 수치입니다. 결과값은 -1 ~ 1 사이의 값이며, 양의..
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피어슨 상관 계수
통계학에서 , 피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient ,PCC)란 두 변수 X 와 Y 간의 선형 상관 관계를 계량화한 수치다. 피어슨 상관 계수는 코시-슈바르츠 부등식에 의해 +1과 -1 사이의 값을 가지며, +1은 완벽한 양의 선형 상관 관계, 0은 선형 상관 관계 없음, -1은 완벽한 음의 선형 상관 관계를 의미한다. 일반적으로 상관관계는 피어슨 상관관계를 의미하는 상관계수이다. 서로 다른 상관 계수 값 (ρ)을 갖는 산포도 다이어그램의 예 x 와 y 의 상관 계수. 상관 관계는 선형 관계의 비선형성 및 방향을 반영하지만 그 관계의 기울기 또는 비선형 관계의 여러 측면을 반영하지 않는다. NB : 중앙의 그림은 기울기가 0이지만이 경우 Y 의 분산이 0이므로 상관 계수가 정의되지 않는다. 여러 데이터셋와 각 셋의의 상관 계수. 상관 관계는 선형 관계의 비선형성 및 방향을 반영하지만 그 관계의 기울기 또는 비선형 관계의 여러 측면을 반영하지 않는다. NB : 중앙의 그림은 기울기가 0이지만이 경우의 분산이 0이므로 상관 계수가 정의되지 않는다. 정의 [ 편집 ] 표본(sample) 피어슨 상관 계수는 등간척도(간격척도)나 비례척도(비율척도)의 데이타에서 두 변수의 공분산(covariance) 을 각각의 표준 편차의 곱으로 나눈 값이다. 피 어 슨 상 관 계 수 = 공 분 산 표 준 편 차 ⋅ 표 준 편 차 {\displaystyle {\text{피 어 슨 상 관 계 수 }}={{\text{공 분 산 }} \over {{\text{표 준 편 차 }}\cdot {\text{표 준 편 차 }}}}} r X Y = ∑ i n ( X i − X ¯ ) ( Y i − Y ¯ ) n − 1 ∑ i n ( X i − X ¯ ) 2 n − 1 ∑ i n ( Y i − Y ¯ ) 2 n − 1 {\displaystyle r_{XY}={{{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)} \over {n-1}} \over {{\sqrt {{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}} \over {n-1}}}{\sqrt {{\sum _{i}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}} \over {n-1}}}}}} 따라서 r X Y = ∑ i n ( X i − X ¯ ) ( Y i − Y ¯ ) ∑ i n ( X i − X ¯ ) 2 ∑ i n ( Y i − Y ¯ ) 2 {\displaystyle r_{XY}={{\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)} \over {{\sqrt {\sum _{i}^{n}\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}}}{\sqrt {\sum _{i}^{n}\left(Y_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}}}}}} 모집단의 경우 [ 편집 ] 피어슨의 상관 계수는 모집단에 적용될 때 일반적으로 ρ (그리스문자,로)로 표시되며 모집단 상관 계수 또는 모집단 피어슨 상관 계수라고 할 수 있다. 결정계수 [ 편집 ] 피어슨의 상관 계수를 제곱해줌으로써 결정계수를 얻을수있다. 표본 피어슨의 상관 계수 r {\displaystyle r} r 2 {\displaystyle r^{2}} 모집단 피어슨의 상관 계수 ρ {\displaystyle \rho } ρ 2 {\displaystyle \rho ^{2}} 컴퓨팅 계산 [ 편집 ] 컴퓨팅 프로그램에서 일반적인 상관관계 분석 함수로서 피어슨 상관계수가 사용되며 스프레드 시트에서는 Correl()함수를 사용할 수 있다.[1] SPSS 및 PSPP에서는 이변량 상관분석(bivariate analysis 또는 bivariate correlation analysis)등에서 보편적으로 이용된다. 같이 보기 [ 편집 ]
피어슨 상관 계수(Pearson Correlation Coefficient)
$\bullet$ (피어슨)상관 계수는 두 변수가 서로 (선형)상관관계를 가지는지 확인하는 척도이다. $\bullet$ 1이나 -1에 가까우면 상관관계가 있다 보고 0이면 없다고 본다. $\bullet$ $[-1,1]$을 벗어나지 않는다. 다음과 같이 정의된 $\rho = \rho (X,Y)$ 를 피어스 상관계수(pearson correlation coefficient)라고 한다. $$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X\sigma_Y},\;\;\;\;\; -1 \leq \rho \leq 1$$ $Cov(X,Y)$를 $X$와 $Y$의 공분산(covariance)라 한다. $Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=E(XY)-\mu_X \mu_Y$ $E(XY) = \mu_X \mu_Y + \rho \sigma_X \sigma_Y$ $X$와 $Y$가 독립이면 상관계수는 0이된다. 하지만 상관계수가 0이라고 $X$와 $Y$가 독립인것은 아니다. $\rho$를 정의한 식에 대해 알아보자 $\mu_X = E(X),\;\; =\mu_Y=E(Y),\;\;\; \sigma_X^2=E[(X-\mu_X)^2],\;\;\;\sigma_Y^2=E[(Y-\mu_Y)^2]$ (a) $u(X,Y) = (X-\mu_X)(Y-\mu_Y)$ 라 두면 $$E[u(X,Y)]=E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]=\sigma_{XY}=Cov(X,Y)$$ 를 $X$와 $Y$의 공분산(covariance)라 한다. (b) 표준편차 $\sigma_X, \sigma_Y>0$이라면 $$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}=\dfrac{\sigma_{XY}}{\sigma_X \sigma_Y}$$ 를 $X$와 $Y$의 상관계수라 한다. $X$의 평균(mean)과 분산(variance)는 결합 pmf(or pdf) 혹은 주변 pmf(or pdf)를 이용해서 푼다. ex) 이산형의 경우 $$\begin{align*} \mu_X = E(X) & = \sum_X \sum_Y x f(x,y)\\ &=\sum_x x \left[ \sum_y f(x,y) \right] = \sum_x x f_X(x) \end{align*}$$ 공분산(Covariance)의 계산에는 joint pmf(or pdf)가 필요하다 공분산 $E[u(x,y)]$와 상관계수 $\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$의 의미를 살펴보기전 2가지 유용한 식을 유도한다. 1) $$\begin{align*} Cov(X,Y) = E[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]&=E(XY – \mu_X Y -\mu_Y X + \mu_X \mu_Y)\\ &=E(XY)-\mu_XE(Y)-\mu_YE(X)+\mu_X \mu_Y\\ &=E(XY) – \mu_X \mu_Y – \mu_X \mu_Y + \mu_X \mu_Y \\ &= E(XY) – \mu_X \mu_Y \end{align*}$$ 2) $$\rho = \dfrac{Cov(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \dfrac{E(XY) – \mu_X \mu_Y}{\sigma_X \sigma_Y}$$ $$E(XY) = \mu_X \mu_Y + \rho \sigma_X \sigma_Y$$ 즉, 두 확률변수의 곱의 기댓값은 각 확률변수들의 평균(mean)과 편차(deviation)를 통해서 구할 수 있다. 예제 4.2-1 펼치기 예제 4.2-1 접기 예제 4.2-1 접기 두 확률변수 $X$와 $Y$의 상관계수(Correlation Coefficient)$\rho$에 대해 알아보자. 1) $\rho$의 부호 $$\rho = \dfrac{\sum_X\sum_Y(x-\mu_X)(y-\mu_Y)f(x,y)}{\sigma_X \sigma_Y}$$ $\bullet$ 분모는 항상 양수이다. $\bullet$ $0 \leq f(x,y)\leq 1$ 이다. $\therefore$ $\rho$의 부호를 결정하는 것은 $x$와 $y$, $\mu_X$, $\mu_Y$이다. $\rho>0$ $\rho <0$ $\rho=0$ $x$가 $\mu_X$보다 크고 $y$가 $\mu_Y$보다 큰 혹은 $x$가 $\mu_X$보다 작고 $y$가 $\mu_Y$보다 작은 $(x,y)$쌍이 아주 많을 경우 $x$가 $\mu_X$보다 크고 $y$가 $\mu_Y$보다 작은 혹은 $x$가 $\mu_X$보다 작고 $y$가 $\mu_Y$보다 큰 $(x,y)$쌍이 아주 많을 경우 모든 $(x,y)$쌍에 대해 $x= \mu_X$그리고 $y=\mu_Y$일 경우 혹은 모든 항의 합이 0이 될 경우 2) $-1 \leq \rho \leq 1$ 우선 임의의 $(x,y)$쌍들을 그래프 위에 그려보겠다. 수많은 점들의 분포를 일반식으로 간단하게 표현할수는 없다 그렇기에 모든 점들을 근사적으로 표현할 수 있는 직선방정식을 찾도록 한다. 이 방정식을 만드는 기준은 i) $(\mu_X \mu_Y)$를 지난다. ii) 모든 점으로부터의 거리의 평균값이 최소가 되는 기울기 $b$를 가진다. 위 조건을 만족하는 직선 방정식을 적으면 $y=\mu_Y + b(x-\mu_X)$ 이제 ii) 조건에 맞는 $b$를 구하면 된다. 임의의 점 $(x_0,y_0)$에서 직선 방정식 까지의 거리는 $|y_0 - \mu_Y - b(x_0 - \mu_X)|$이다. 이 거리를 제곱한 값들의 평균을 취한 식을 $K(b)$로 지칭한다. $$E\{[(Y - \mu_Y)-b(X - \mu_X)]^2\}=k(b)$$ 최소제곱원리로 $K(b)$를 최소로 하는 $b$값을 찾는다. $$\begin{align*} K(b) &=E[(Y-\mu_Y)^2-2b(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)+b^2(X-\mu_X)^2]\\ &=\sigma_Y^2 - 2b \rho \sigma_X \sigma_Y + b^2 \sigma_X^2 \end{align*}$$ 를 $b$로 편미분하여 $0$으로 놓고 $b$를 구한다 $$K'(b) = -2 \rho \sigma_X \sigma_Y + 2b \sigma_X^2=0\\ b = \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}$$ $K(b)$는 최고차항의 계수가 양수인 $b$에 관한 2차식인데다가 $K''(b) = 2\sigma_X^2 > 0$이므로 위의 $b$는 $K(b)$를 최소로 만드는 식임을 알 수 있다. 따라서 최량 적합 직선(the line of best fit)의 형태인 최소 제곱 회귀 직선(least squares regression line)은 $Y = \mu_Y = \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}(X – \mu_X)$ 가 된다. 여기서 $\rho$의 값에 따라 기울기가 결정된다. 또한 $K(b)$는 제곱의 기댓값이므로 모든 $b$에 대해서 음수가 아니어야 한다. 따라서 최소값도 양수이므로 $$\begin{align*} K \left( \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X} \right) &= \sigma_Y^2 – 2\rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\rho \sigma_X \sigma_Y + \left( \rho \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_X}\right)^2 \sigma_X^2\\ &=\sigma_Y^2 -2\rho^2\sigma_Y^2 + \rho^2 \sigma_Y^2 = \sigma_Y^2(1 – \rho^2) \geq 0 \end{align*} $$ 그러므로 $-1 \leq \rho \leq 1$이 된다. 예제 4.2.2 펼치기 예제 4.2.2 접기 예제 4.2.2 접기 $X$와 $Y$가 독립이면 상관계수는 0이된다. 하지만 상관계수가 0이라고 $X$와 $Y$가 독립인것은 아니다. 아래 예로 확인해보자 예제 4.2.3 펼치기 예제 4.2.3 접기 예제 4.2.3 접기 연습문제 펼치기 연습문제 접기 연습문제 접기
피어슨 상관 계수 (Pearson Correlation Coefficient)
상관계수(correlation coefficient)란 두 변수가 어떤 상관 관계를 가지는가?를 의미하는 수치다. +1은 완벽한 양의 선형 상관 관계, 0은 선형 상관 관계 없음, -1은 완벽한 음의 선형 상관 관계를 의미한다. https://otexts.com/fppkr/graphics-scatterplots.html X와 Y 사이의 피어슨 상관 계수를 구하는 식은 다음과 같다 \\[r_{XY} = \frac{ \sum^n_i (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) }{ \sqrt{\sum^n_i (X_i – \bar{X})^2} \sqrt{\sum^n_i (Y_i – \bar{Y})^2} } \\] 여기서 X, Y는 vector인데 식을 조금 들여다보면 결국 다음과 같은 과정이다. 1. 각 vector의 표본평균\\(\bar{A}\\)를 구해서 A의 0이 아닌 각 원소에 빼주어 normalization하고, 2. normalized 된 vector들 사이의 cosine similarity를 계산한다. 피어슨 상관 계수는 다양한 상황에서 쓰이지만, normalized된 cosine similarity를 계산하는 것이기 때문에 피어슨 상관 계수를 similarity로도 해석할 수 있다. 피어슨 상관 계수가 similarity로 쓰이는 예로는 추천 시스템이 있다. 추천 시스템에서 collaborative filtering 방식을 사용할 때는 User-user 간, 또는 Item-item 간 similarity를 계산해야 한다. 이 때 피어슨 상관 계수를 similarity로 사용하게 된다. 유저 A와 비슷하게 영화를 평가한 유저를 찾기 위해서 user A와 나머지 유저들의 similarity를 계산하려고 한다. movie 1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 user A 4 5 1 user B 5 5 4 … ( 평가하지 않은 항목은 0으로 집계되기 때문에 cosine similarity를 사용하게 되면 미평가 항목이 곧 안좋게 평가한 항목과 동일하게 간주된다는 문제가 있어 피어슨 상관 계수를 사용한다.) 피어슨 상관 계수를 계산해보면 \\(\bar{A} = \frac{4+5+1}{3} = \frac{10}{3} \\) \\(\bar{B} = \frac{14}{3} \\) \\(A – \bar{A} = [\frac{2}{3}, 0, 0, \frac{5}{3}, -\frac{7}{3}, 0, 0]\\) \\(B – \bar{B} = [\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, 0, 0, 0, 0]\\) 이제 이 둘의 cosine similarity를 계산하면 피어슨 상관 계수가 되고, 이는 곧 sim(A, B)가 된다. \\(sim(A, B) = 0.092\\) 상관계수를 구할 때 주의할 점 상관계수(correlation coefficient)는 선형관계의 강도만 측정하기에, 종종 오해로 이어질 수 있습니다. 아래 그래프는 모두 0.82의 상관계수를 갖습니다만, 나타나는 관계는 아주 다릅니다. 이를 통해 상관계수값에만 의존하지 말고 데이터를 그려서 살펴보는 것이 얼마나 중요한지 알 수 있습니다. https://otexts.com/fppkr/graphics-scatterplots.html
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[통계] 상관관계(Correlation Coefficient)
1. 상관관계(Correlation Coefficient)
1.1 상관관계란?
– [의미] 상관관계는 두 변수 간의 직선관계 를 나타냅니다. 상관관계가 있다는 것은 인과관계가 있다는것이 아닙니다. 상관관계가 높다고해서 두 변수에서 하나의 변수가 다른 변수의 원인을 설명할수는 없습니다. 이유는 알 수 없지만, 상관관계가 높을 뿐이죠.
– [부호] 상관관계 값이 0에 가까울수록 직선관계가 없으며, -1에 가까울수록 강한 음의관계, +1에 가까울수록 강한 양의 관계를 가집니다.
– [지표] 상관관계를 나타내는 지표 를 상관계수 라고 합니다. 대표적인 상관계수로는 피어슨 상관계수, 스피어만 상관계수가 있습니다.
– 상관관계를 분석하는데 있어서 가장 기본적이고 직관적인 방법은 산점도 를 살펴보는 것입니다. 산점도에서 분포가 직선에 가까울수록 상관관계가 높다고 할 수 있습니다.
2. 상관관계의 지표
2.1 공분산(Covariance)
– [의미] 공분산(covariance)은 2개의 확률변수의 선형 관계를 나타내는 값(위키피디아) 이라고 합니다. 위에서 본 상관관계의 정의와 거의 일치하죠. 하지만 사실상 공분산은 상관계수로 쓰이지 않습니다. 그 이유는 변수의 단위에 영향을 많이 받기 때문입니다. 아래에서 다시 한 번 설명하도록 하겠습니다.
– [부호] 공분산의 값은, 두 변수가 선형관계가 없는 경우 0 을 가지며, 두 변수가 비례하는 경우 양수 의 값, 반비례의 경우 음수 의 값을 갖습니다.
분산(Variance) 공분산(Coveriance) 변수 1개의 분포 형태 변수 2개의 분포 형태 표본의 편차제곱의 평균 X의 편차와 Y 편차를 곱한 것의 평균
– 빠른 이해를 위해서 아주 간단한 예제를 하나 보고 가겠습니다.
: 아래는 데이터의 개수가 3인 변수 X,Y가 있습니다. 이 변수의 공분산과 상관계수를 구하는 과정을 아래 그림으로 살펴보겠습니다.
2.2 피어슨 상관계수( Pearson Correlation Coefficient ,PCC)
– 위에서 구한 상관계수가 바로 피어슨 상관계수입니다.
– 피어스 상관계수는 표준점수(Z)값을 통해서 구하는 방법도 있는데요, 아래 이미지와 같습니다.
: 표준점수로 계산할 시 (N-1)로 나누어준다는 것 을 기억하면 되겠습니다!
2.3 스피어만 상관계수(Spearman Correlation)
– 스피어먼 상관 계수는 ” 순위가 매겨진 변수 간의 피어슨 상관 계수”로 정의 됩니다.
– 따라서 통계적 계산에서 순서척도(ordinal scale)가 적용되는 상관분석에서는 스피어먼 상관 계수 가 사용되며 간격척도가 적용되는 변수들 간의 분석에서는 피어슨 상관 계수 가 사용됩니다(위키피디아)
– 스피어만 상관계수의 식은 피어슨 상관계수와 동일합니다. 아래 그림의 왼쪽을 보시면 위에서 본 식과 동일한것을 볼 수있습니다. 다만, 스피어만 상관계수는 di = Xi – Yi 를 대입하여 오른쪽과 같이 변형하여 사용하는것이 일반적입니다.
(※ 스피어만 상관계수에서 1- 다음항 의 6은 다른 기호(시그마 등)가 아니라 숫자 6입니다!)
– 예를 들어, 한 고등학교 3학년 학생들의 모의고사 성적을 과목별로 등수를 매겼을 때, 언어영역 등수와 수리영역 등수간의 상관관계를 확인하기 위해서는 스피어만 상관계수로 분석할 수 있습니다.
– 빠른 이해를 위해 구체적으로 스피어만 점수를 구하는 예시를 보겠습니다.
[예시] SAT 점수와 기말고사 성적이 순위척도로 되어있는 경우의 상관관계 분석SAT 점수(X)의 순위와 기말고사 점수(Y)의 순위를 먼저 구합니다(X rank, Y rank). 여기서 주목할점은, 순위가 같은 경우에는 같은 점수를 부여합니다. 아래 X rank에서 SAT 점수가 565로 같은 2 데이터의 경우 6,7 위에 해당하는것을 6.5로 하여 동등하게 나누었습니다.
■ 공부할때 도움되시길 바라며, 두 상관계수(피어슨/스피어만)를 구하는 과정을 이해하기 쉽게 예제파일을 엑셀로 만들었습니다. 자유롭게 사용하셔도 되며, 사용시 댓글만 남겨주세요~
3. 상관관계의 해석
3.1 상관관계에 영향을 주는 요인들
1. 상관계수는 just 선형관계(linearity)
: 상관계수는 선형관계, 직선관계를 나타내는 값이기 때문에 직선이 아닌 형태의 관계를 가진 경우에는 나타낼 수가 없다는 한계점이 있기 때문에 꼭 상관계수를 볼때에는 산점도를 먼저 확인해야합니다.
: 아래 그림에서 0에 해당하는 핑크 박스의 경우들에도 모두 상관계수 값이 0이지만, 산점도를 보고 다른 경우의 수를 생각해서 추가적으로 분석할 수 있을 것입니다.
2. 관측치들이 충분한 변량을 가지고 있어야함
– 두 변수의 상관관계를 충분히 나타내기 위해서는 한 변수가 다른 변수에 대해서 충분한 변량을 가지고 있어야합니다 .
– 예를 들어서 IQ와 시험성적간의 상관계수를 구한다고 할때, 확보한 IQ의 범위가 140 이상인 관측치밖에 없다면, 두 변수간 상관관계가 매우 낮게 나올 것입니다.
3. 관측수의 크기
– 일반적으로 상관관계를 계산하기 위한 샘플의 관측치 수는 상관관계의 크기에 영향을 주지 않습니다.
– 하지만 관측치 수의 크기가 커지면 상관관계의 정확도를 높일 수 있습니다.
3.2 상관관계의 해석
1. 상관계수의 스케일은?
– 상관계수는 순서형(ordinal) 척도입니다.
– 즉, 상관계수 r값이 0.4와 0.6간의 차이가 0.6과 0.8간의 차이와 동일하다고 할수 없으며, 0.4 값이 0.2의 2배에 해당된다고 말할수도 없습니다.
2. 상관계수 값의 해석
절대값 의미 0.9~1.0 매우 높은 음/양의 상관관계 0.7~0.9 높은 음/양의 상관관계 0.5~0.7 moderate 음/양의 상관관계 0.0~0.1 상관관계가 거의 없음
3. ‘상관계수 0.2’의 의미는?
– 절대적인 숫자 값에 대한 해석은 연구자, 연구목적, 연구분여에 따라서 다를 수 있다 . 즉, 의미있다고 볼 수도 있고 의미없다고 볼 수도 있습니다.
– 예를들어 암 치료에 효과적인 신약개발의 경우, 신약 투여량과 암의 회복속도 간의 상관관계가 0.2라고 할때, 일반적인 상황에서는 0.2가 낮은 약한 상관관계를 보인다고 할 수 있지만 의학계에서는 0.2라는 상관계수도 매우 중요한 발견이라고 여길 수 있습니다.
4. 상관계수와 유의수준(p-value)
– 상관계수와 p-value는 서로 다른 의미를 지닌 값입니다. 아래의 두 가지 경우를 예로 살펴보겠습니다.
1) 상관계수의 값은 크지만 p-value가 유의미하지 않은 경우
– 예를들어 r= 0.9 이지만 p=0.25인 경우, 높은 상관관계를 보이지만 p-value값이 터무늬없이 높습니다. 유의미하지 않은 값이죠. 즉 결과가 정확하다고 볼 수 없다는 의미입니다.
– 일반적으로 p값은 샘플의 크기에 영향을 받지만, 상관계수는 샘플의 크기와는 무관합니다. 이런 경우, 샘플의 수를 증가시켜보면 유의미한 p값을 얻을 수도 있습니다.
2) 상관계수의 값은 작지만 p-value가 유의미한 경우
– 예를들어 r= 0.035 이지만, p<0.05인 경우, 상관계수의 값은 작아서 두 변수의 상관관계는 없지만 p값은 아주 작아 유의미하다는 결론을 내릴 수 있습니다. - 유의미 하다는것의 결론은 귀무가설을 기각한다는것이고, 이 경우에서는 H0 : 'r=0' 이라는 가설을 기각한다는 말입니다. 즉 상관관계 0.035의 값이 0이 아니라는 것을 의미합니다. - 즉 r≠0 이지만, 그렇다고 r이 큰 값은 아니기 때문에 중요한 발견이라고 할 수는 없는 것이지요. - 글의 상단에서 말씀드린것처럼 상관계수로는 두 변수의 인과관계를 알 수없고 단지 직선관계만 확인할 수 있다고 하였습니다. 그렇다면, 두 변수의 인과관계는 어떻게 확인할 수 있을까요 ? 그 방법이 바로 '회귀분석법'입니다. 다음 글에서는 회귀분석에 대해서 살펴보도록 하겠습니다. 2021.05.23 - [통계 분석(Statistics)] - [통계 기초] 선형회귀분석
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